PCA入门与去相关性详解：协方差矩阵与特征向量的应用

PCA（主成分分析）是一种常用的数据降维技术，在数据分析中被广泛应用于特征提取和数据可视化。以下是PCA的一些关键概念和步骤： 1. **协方差矩阵**：协方差矩阵是衡量一组随机变量之间线性关系的重要工具。对于一个n维随机变量X，协方差矩阵C是一个n×n的对称矩阵，其元素表示变量间的变化趋势。对于离散数据，通过计算每个维度上数据的均值来近似期望值，得到协方差的估计。 2. **均值归一化与协方差计算**：在实际应用中，对数据进行均值归零处理，即将每个维度上的观测数据减去该维度的均值，这有助于消除不同尺度带来的影响。协方差矩阵可以表示为观测数据矩阵Z的转置与Z相乘，即C = Z'Z，其中Z是对数数据矩阵。 3. **PCA变换**：PCA的目标是找到一个线性变换P，使得新的数据点在新坐标系中各维度之间相互独立，即协方差矩阵变为对角矩阵。通过对原始协方差矩阵进行特征值分解，可以找到正交的特征向量V，这些向量构成了新的坐标轴。特征值对应着原数据在新轴上的方差程度，对角化的协方差矩阵D由特征值构成。 4. **线性变换P的选择**：线性变换P由特征向量V的逆矩阵乘以特征值的平方根矩阵得到，即P=VΛ^(-1/2)，其中Λ是对角线元素为特征值的矩阵。通过这样的变换，使得新的数据点的新坐标（即P'Z）的协方差矩阵是对角化的，这意味着每个新的坐标轴（即主成分）只反映原始数据的一个独立成分。 5. **成分分析视角**：PCA可以从样本的维度去相关性或样本的线性分解两个方面理解。它揭示了数据在高维空间中的潜在结构，通过减少冗余和保留最重要的信息，使得数据在较低维度上仍然保持原有的主要特性。新基向量（P1到Pn）被称为主成分，它们是原始数据特征向量的标准化版本，反映了数据的主要变异方向。 PCA的核心在于利用统计学方法找出数据中最重要的特征，通过线性变换实现数据的降维，并保持大部分的信息含量。这一过程对于数据挖掘、机器学习和数据可视化等领域有着重要的应用价值。