牛客暑期多校集训营五题详解：最小行走距离与传送门策略

2020牛客暑期多校集训营第五场的编程题目是关于带权图的路径规划与优化问题，主要涉及C++编程。题目背景是有一个包含n个节点和m条边的图，初始位置在1号节点，需要按照顺序完成k个任务，每个任务包括从一个特定的a[i]点出发，再到另一个b[i]点。参与者可以在这过程中创建传送门，当有两个传送门时，可以在它们之间自由传送。然而，若要创建第三个传送门，必须关闭一个已有的。 第一部分题解采用动态规划（DP）方法，通过定义f[i][u][a][b]表示完成前i个任务后，在点u且有两个传送门在a和b处的最短距离。转移状态考虑了三种情况：在u点建立新传送门、移动到相邻节点以及利用已有传送门。由于存在环形转移，这里应用了Dijkstra算法来求解最短路径。 第二部分题解进一步简化了状态，认识到只需要记录一个传送门位置即可，因为总是可以在当前节点创建新的传送门。新定义为f[i][u][p]，表示完成前i个任务，当前在c[i]上，且传送门在p。转移状态分为四种：移动到相邻节点、在当前节点建立传送门、从当前节点传送到p，以及在u和p之间交换传送门。 第三部分题解的精简达到了极致，只保留三个状态转移：直接从c[i]到c[i+1]、在c[i+1]之后通过一系列操作达到新的传送门位置，以及在c[i]和c[i+1]之间进行传送和路径调整。这种简化降低了复杂度，至O(kn^2)。 B-Graph部分的题目则涉及更抽象的问题，给定一棵带权重的树，允许添加或删除边以保持图的连通性，同时限制条件可能涉及特定的操作限制。这类题目通常考察数据结构的运用，如并查集、拓扑排序或深度优先搜索等，以及如何在有限的操作下优化网络结构以达到最优性能。 这个题目挑战选手对带权重图的理解，动态规划和空间优化技巧，以及如何在实际操作约束下解决最短路径问题。对于C++程序员来说，这是一次实战练习，能够提升他们在实际问题中的分析、设计和编码能力。