非线性系统线性化技术：输入-输出线性化与反馈线性化

本文主要探讨了非线性系统的跟踪控制问题以及非线性系统线性化的方法，包括传统的近似线性化、精确线性化和现代近似线性化。线性化技术旨在通过变换或反馈设计，将非线性系统转化为线性或近线性系统，以便利用成熟的线性控制理论进行分析和设计。 非线性系统的跟踪控制通常面临输出与输入之间关系不明确的问题，这使得直接设计控制输入以实现期望轨迹跟踪变得困难。输入-输出线性化是一种有效的方法，它寻找系统输出与控制输入之间的直接关系，简化控制设计。该方法在非线性系统控制设计中占有重要地位。 线性化方法大致分为三类： 1. 传统近似线性化：通常采用一阶泰勒展开，适用于工作点变化不大的系统，其特点是计算相对简单，但可能忽略高阶非线性项，导致在线性化过程中引入误差。 2. 精确线性化：通过坐标变换或状态反馈，保持线性系统的某些特性，例如微分几何方法、隐函数法和逆系统方法。这种方法不忽略任何高阶非线性项，因此线性化是精确的。 3. 现代近似线性化：如最小二乘法、泰勒展开和傅里叶级数展开等，旨在最小化线性化过程中的误差，但可能涉及更复杂的计算和更严格的条件。 反馈线性化是精确线性化的一种形式，通过状态或输出反馈，使非线性系统的动态特性部分或全部转变为线性。反馈线性化包括输入-状态线性化和输入-输出线性化。在输入-状态线性化中，状态变量被直接线性化；而在输入-输出线性化中，关注的是输入和输出之间的关系。此外，线性化的系统可以进一步分解为内动态子系统和零动态子系统，以便更精细地控制系统行为。 反馈线性化的一个关键数学工具是微分同胚和弗罗贝尼斯定理，它们提供了状态变换的理论基础。非线性系统反馈线性化的设计涵盖了单输入单输出系统和多输入多输出系统的情况，并涉及到鲁棒设计，以应对系统不确定性。 近似线性化方法则在无法实现精确线性化时使用，例如通过泰勒级数展开并忽略高阶项，或者使用最小二乘法和傅里叶级数来逼近非线性函数，以达到近似线性化的目的。 非线性系统线性化是解决复杂非线性控制系统问题的有效途径，它结合了数学理论和工程实践，为设计高性能的非线性控制系统提供了强大的工具。