线性规划基础：基解与基可行解解析

"线性规划、基解、基可行解、决策变量、目标函数、约束条件、图解法" 线性规划是一种优化方法，用于在满足一组线性等式和不等式约束的情况下最大化或最小化目标函数。在这个过程中，决策变量、目标函数和约束条件是线性规划的核心要素。 决策变量是模型中的未知数，代表可以调整的参数以优化目标。在上述例子中，穗羊公司的产量x1和x2就是决策变量，而截取钢筋的方式x1、x2和x3也是决策变量。 目标函数是需要最大化或最小化的量，反映决策变量的经济效益或成本。在例1中，目标函数是利润，即3x1 + 2x2；在例2中，目标是最小化总用料，即x1 + x2 + x3。 约束条件限制了决策变量的取值范围。例如，在穗羊公司的问题中，原材料的可用量限制了每周可以生产的I、II产品数量。而在截钢筋的例子中，3米和4米预制构件的数量至少要达到100根。 基解是指在满足线性规划约束条件下，将非基变量设置为0得到的解。当所有基变量的值都是非负的，并且同时满足所有约束条件时，这样的基解就被称为基可行解。例如，选取特定的基变量组合（如x1，x2）后，其他非基变量（如x3，x4）设为0，解出相应的基解。 并非所有的基解都是基可行解，这取决于选取的基变量。如果选取的基变量导致某些约束不满足，即使非基变量为0，整体解也不可行。比如，如果选择x1和x3作为基变量，可能得到的基解就不满足所有约束，因此不是基可行解。 线性规划的图解法主要应用于只有两个决策变量的问题，通过绘制约束条件的图形（可行域）来寻找目标函数的最大值或最小值。可行解集合（通常用X表示）是所有满足约束条件的点的集合。最优解位于可行域边界上，对应目标函数取得最大值或最小值的点。 在实际应用中，线性规划广泛用于各种领域，包括生产计划、资源分配、运输问题、投资组合优化等。通过构建合适的模型和选择正确的求解方法，可以有效地解决这些问题，实现最佳决策。