确定性自动机最小化：coalgebraic视角与Brzozowski算法的关系

"这篇科学论文探讨了确定性自动机最小化的两种主要方法——划分细化（如Moore算法和Hopcroft算法）以及通过反转和确定性（Brzozowski算法）——并从共代数的角度建立了它们之间的精确关系。研究还表明这两种方法可以如何结合使用，并且这些发现可以扩展到更广泛的系统，如非确定性自动机。该工作是在法国的科研项目支持下完成的，并发表在理论计算机科学电子笔记上。" 在理论计算机科学中，自动机的最小化是一个重要的主题，因为它有助于减少自动机的状态数量，从而提高效率和可理解性。确定性自动机的最小化方法通常分为两类：一种是基于划分细化，如经典的Moore算法和Hopcroft算法，这些方法通过不断划分状态空间来寻找最小的等价类；另一种是Brzozowski算法，它依赖于自动机的逆操作和确定性来达到最小化。 Moore和Hopcroft的算法都是通过迭代过程，根据状态之间的语言关系将状态划分为不同的等价类，然后合并那些具有相同输出的语言等价状态，直到无法再进行有效的合并为止。这个过程可以看作是沿着函子的最终序列的最小化构造。 另一方面，Brzozowski算法则是通过构造自动机的逆自动机，然后通过一系列的归约步骤来消除冗余状态，这些步骤确保了最终得到的自动机是等价的且状态数量最少。这种方法的关键在于利用了自动机的逆运算来识别可达性关系。 在这篇论文中，作者采用共代数的观点，这是一种通用的数学框架，适用于描述各种计算和动态系统。通过这个视角，他们揭示了划分细化方法和Brzozowski算法之间的深层联系，指出这两种方法实际上可以看作是对不同函子的处理。他们不仅展示了这两种方法之间的关系，而且还讨论了如何将它们结合起来，以可能获得更高效的最小化策略。 此外，论文还讨论了这些结果如何能够应用于更广泛的系统，如非确定性自动机，这是自动机理论中的一个重要扩展。非确定性自动机允许在某个状态下有多个可能的转移，使得语言识别变得更加灵活，但同时也增加了最小化的复杂性。 通过这一研究，作者为自动机理论提供了新的洞察，加深了对自动机最小化基础的理解，这有助于推动自动化理论和相关领域的进一步发展。这项工作的创新之处在于它不仅分析了现有方法，还提出了新的视角和可能的结合策略，这对于自动机设计和优化具有实际意义。