单纯形法求解线性规划：从初始基可行解到最优解

"本文主要介绍了运筹学中的单纯形法，一种用于求解线性规划问题的有效算法。单纯形法的核心是通过行变换逐步优化目标函数，以找到最优解。文章首先强调了线性规划问题的可行域特性，即它是凸集且与顶点一一对应的基可行解。接着，它探讨了穷举法在求解线性规划问题时的局限性，如效率低下和可能的错误结论。然后，文章提出了单纯形法的优势，包括较低的平均计算复杂度、对解的各种情况的判断能力，以及能够同时处理对偶问题。单纯形法的解题步骤包括找到初始基可行解，然后通过迭代寻找最优解，而不需要遍历所有顶点。文中还举例展示了如何标准化线性规划问题并找出第一个基可行解，以及如何通过添加松弛变量来构建初始单位阵，从而得到第一个顶点。" 在运筹学中，单纯形法是一种解决线性规划问题的经典算法，特别是在处理具有多个决策变量和约束条件的情况下。线性规划问题的可行域通常是一个凸集，可能包含有限个顶点，这些顶点对应于基可行解。如果线性规划有最优解，那么这个最优解将出现在某个顶点上。因此，求解线性规划的一个基本思路是穷举所有基可行解，但这种方法在实际问题中效率极低，尤其是在变量数量较大时。 单纯形法克服了穷举法的不足，其平均计算复杂度为O(n^3L^2)，其中n代表决策变量的数量，L表示问题规模。该方法能处理四种不同的解的情况：有限最优解、无界解、无解和无穷多解。单纯形法的迭代过程始于一个基可行解，通常选择的是使得目标函数值最大的顶点，然后通过列换（即行变换）将非基变量之一的系数变为1，更新基可行解，直到找到最优解。 以一个简单的线性规划问题为例，标准形式为最大化目标函数z=2x1+3x2，同时满足约束x1+4x2 <= 8, 2x1+x2 <= 12, x1 >= 0, x2 >= 0。通过添加松弛变量，我们可以将约束转换为等式形式，并构造出初始的单位阵，将松弛变量作为基变量，得到初始基可行解。然后，通过行变换逐步改进解，直到无法再改善目标函数值，即找到了最优解。 单纯形法虽然不是最快的迭代算法，但因其易于理解和实现，以及对各种情况的良好处理能力，在实践中被广泛应用。通过行变换和迭代，它可以有效地搜索到最优解，避免了穷举所有可能的顶点，大大提高了求解效率。