数值离散域积分解广义Burger-Fisher方程

"这篇研究论文探讨了一种使用基于边界积分元素的数值技术来解决广义Burger-Fisher方程的方法。这种方法的特点在于，通过边界值和域值在问题域内部建立解决方案的积分表示，处理非线性和时间导数导致的区域积分。尽管存在这些挑战，但与传统的边界元素方法不同，它在有限元素类型的离散域中解析这些积分，从而实现求解。论文的作者们通过与封闭形式解的比较验证了所提方法的实用性和准确性。此研究发表在《应用数学》期刊2020年第11期，页码137-145，DOI号为10.4236/am.2020.113012，由埃塞俄比亚亚的斯亚贝巴大学计算科学项目的计算科学与动力系统组的研究人员共同完成。" 本文详细介绍了如何运用数值离散域积分公式来解决复杂的数学物理问题，特别是广义Burger-Fisher方程。广义Burger-Fisher方程是Burger方程和Fisher方程的组合，常用于模拟流体动力学中的非线性传播现象和扩散过程，因此在工程和科学领域有广泛应用。传统上，这类方程的求解通常依赖于数值方法，如有限差分、有限元或者谱方法。 在本研究中，作者提出了一种基于边界积分元素的新方法。这种方法的独特之处在于，它不仅考虑了边界条件，还通过积分将域内的非线性效应纳入其中。这种方法避免了将所有问题转化为边界上的问题，而是选择在离散的域内解析地处理区域积分。这允许更精确地捕捉到非线性项和时间依赖性的动态，尤其是在问题域的内部结构复杂的情况下。 为了验证新方法的有效性，研究人员将其结果与已知的封闭形式解进行了比较。封闭形式解通常是理论分析的结果，可以提供一个理想的基准来评估数值方法的精度。通过这种比较，他们证明了所提出的数值离散域积分公式能够准确地近似广义Burger-Fisher方程的解，从而展示出其在解决这类问题时的实用价值。 此外，这种方法的另一个优势是它的适应性，它可以应用于各种形状和尺寸的问题域，因为它是基于有限元素的。这意味着它能够处理具有不规则边界的复杂几何结构，这是许多实际应用中常见的特征。而且，由于它在离散域内解析积分，对于非均匀网格的适应性也更强，这对于优化计算效率和提高解的精度非常有利。 这项研究为解决非线性偏微分方程提供了一个新的数值工具，特别适用于处理广义Burger-Fisher方程这类涉及非线性传播和扩散的物理问题。它扩展了数值分析的工具箱，并可能激发进一步的研究，探索如何将这种方法应用于其他类似的复杂方程。