根轨迹法基础：开环参数变化对闭环系统的影响

"根轨迹的渐近线是自动控制原理中的一个重要概念，主要涉及线性系统的根轨迹法。根轨迹是开环系统参数变化时，闭环特征根在s平面上移动的轨迹。当参数k变化时，会有n-m条与实轴交点固定的渐近线，它们的交角是特定的。这一章主要介绍了根轨迹法的基本概念、绘制根轨迹的法则、广义根轨迹以及如何通过根轨迹分析系统性能。根轨迹在经典控制理论中具有重要地位，由W.R.伊凡思在1948年建立的理论对于飞机导航和控制系统有深远影响。" 根轨迹法是分析线性控制系统动态性能的一种有效方法。它关注的是随着开环增益K的变化，闭环系统的特征根如何在复平面上移动的轨迹。根轨迹的基本概念中，"根"指的是闭环特征方程的解，即闭环系统的极点；"轨迹"则表示这些极点在s平面上随K变化的路径。 根轨迹的绘制遵循一系列基本法则，包括幅值条件和相位条件，这些条件确保了轨迹的正确绘制。例如，根轨迹在实轴上的起点和终点是由开环传递函数的极点位置决定的，而其在复平面上的形状则由这些极点和零点的关系影响。当开环传递函数的极点数n多于零点数m时，就会有n-m条根轨迹渐近线，这些渐近线在实轴上的交点是固定的，称为σa，而它们之间的交角是确定的。 在实际应用中，根轨迹的分析可以帮助我们理解系统的稳定性、响应速度和超调量等关键性能指标。例如，通过观察根轨迹与虚轴的交点，可以判断系统的稳定性；交点距离原点的远近反映了系统的响应速度；而渐近线的方向则影响着系统的超调情况。因此，根轨迹法在设计控制器时提供了直观的工具，帮助工程师调整系统参数以优化性能。 此外，广义根轨迹扩展了传统根轨迹的概念，考虑了非最小相位系统或包含积分环节的系统。这种广义的方法能更全面地分析复杂系统的行为。 根轨迹法是控制系统设计和分析中的基础工具，通过对根轨迹的绘制和分析，工程师可以深入理解系统的动态特性，并据此优化控制策略，实现期望的系统性能。