随机过程考试试题——马尔科夫链与泊松过程

"随机过程，马尔科夫链，状态分类，备份软件，指数分布，泊松过程，特征函数，数学期望，等待时间序列，Γ分布，状态空间，转移概率矩阵，绝对概率" 该资源主要涉及的是随机过程理论及其应用，特别是马尔科夫链的概念。马尔科夫链是一种数学模型，用于描述一个系统随时间演变的行为，其中系统在未来状态的概率只依赖于当前状态，而与过去的历史无关，即满足无后效性。在马尔科夫链中，状态可以被分类为吸收态、周期态和非周期态。吸收态是指一旦系统进入该状态，就无法离开；周期态指的是系统会按照一定的周期重复经过某些状态；非周期态则是既不是吸收态也不是周期态的状态。 在给出的问题中，描述了如何画出状态转移图并对状态进行分类。状态3被识别为吸收态，因为它构成一个闭集并且不能到达其他状态。状态0和1是互通的，且不能到达其他状态，它们是非周期状态中的正常返态。状态2是一个非常返态，因为它可以到达状态1，但状态1不能返回到状态2。 此外，指数分布的无记忆性与马尔科夫链的无后效性有联系。指数分布是描述随机事件发生时间间隔的分布，其无记忆性质意味着无论过去已经过去了多长时间，未来发生事件的时间仍然独立于过去。马尔科夫链的无后效性是指未来的状态只依赖于当前状态，而不依赖于到达当前状态的路径，这与指数分布的无记忆性有相似之处。 试卷中还包含了关于随机变量的特征函数、泊松过程、泊松分布以及与之相关的等待时间序列的问题。例如，泊松过程的点间间距是指数分布的，等待时间序列服从Γ分布。此外，还讨论了马尔科夫链的转移概率矩阵和n步转移概率矩阵的关系，以及初始概率、绝对概率和n步转移概率之间的关系。 在马尔科夫链的状态分类中，若某个状态的返回时间的数学期望小于1，那么称该状态为不持久状态，这通常与链的遍历性和平稳分布有关。在给出的方程组中，涉及到计算马尔科夫链的平稳分布π，这是一个重要的概念，它描述了当系统运行足够长时间后，系统处于各个状态的概率分布。 该资源涵盖了随机过程的核心概念，包括马尔科夫链的状态分类、性质分析以及与指数分布的关联，同时也涉及了随机变量的统计特性，如泊松分布和均匀分布，以及它们在随机过程中的应用。