分层思想解网络流：王欣浅谈最短路径增值算法

"王欣上在《浅谈基于分层思想的网络流算法》中探讨了网络流问题，特别是利用分层思想优化的最短路径增值(MPLA)算法。文章涉及了网络流的基本概念，如源点、汇点、层次图以及剩余图的构建。在层次图中，边的连接遵循特定规则，即只允许从低层次顶点到高层次顶点的连接，并且不存在跨多级的边。此外，文章还提到了Dinic算法和MPM算法作为网络流问题的解决方案。在剩余图中，任何可以从源点到汇点的路径都对应着一条可能的增广路径，而边的增广值由剩余图的权值表示。作者通过层次图的概念，阐述了如何通过多次最短路径搜索（BFS）来优化算法，最多需要建立n次层次图以处理有n个点的流量网络。" 本文详细介绍了基于分层思想的网络流算法，主要关注的是最短路径增值算法（MPLA）。网络流问题通常涉及在一个有向图中从源点到汇点传输流量，同时满足边的容量限制。在这个框架下，王欣上提出了一种利用层次图的方法来优化算法效率。 首先，层次图的构建是通过一次广度优先搜索（BFS）完成的，将所有顶点根据距离源点的最短路径长度分为k+1个集合，每个集合包含与层次相对应的顶点。层次图中，边的连接遵循一个关键规则：只允许从level=i的顶点到level=i+1的顶点存在边，这确保了层次结构的清晰性。 剩余图是网络流算法中的一个重要概念，它是原流量网络的扩展，包含了所有仍有可能增加流量的边。在剩余图中，如果边(a,b)没有达到其容量限制或逆向边(b,a)有流量，那么(a,b)就在剩余图中。每条从源点到汇点的路径在剩余图中都对应着一个增广路径，表示可以沿着这条路径增加流量。 MPLA算法的核心是通过不断寻找并利用这些增广路径来逐步增加总流量，直到无法找到新的增广路径为止。算法过程中，可能需要多次构建层次图，但定理指出，对于一个有n个顶点的网络，最多需要建立n次层次图。 此外，王欣上还提到了其他两种网络流算法——Dinic算法和MPM算法，但并未详细展开。Dinic算法是一种基于 blocking flow 的算法，它通过重复找到并增广饱和路径来求解最大流问题，而MPM算法（最大匹配最小路径算法）则结合了最大匹配和最短路径的思想。 总体来说，这篇文章深入探讨了如何利用层次结构优化网络流问题的求解，提供了对网络流算法的新视角，尤其是对于教学和研究网络流算法的读者，具有很高的参考价值。