复分析入门：Michael E. Taylor的数学研究生教程

"《Introduction to Complex Analysis》是Michael E. Taylor撰写的一本研究生层次的复分析教材，属于美国数学学会的研究生数学系列（GSM202）。这本书旨在引导读者理解并掌握复变函数的基本概念和性质，包括复数、复函数、复积分及其在微积分中的应用。" 复分析是数学的一个重要分支，主要研究复数作为变量的函数。在本书中，Michael E. Taylor将介绍一系列与复数相关的基础函数，如幂次和分数幂、指数和对数、三角函数及其逆函数，以及读者可能会遇到的许多新函数。这些函数不仅在复数域内定义，而且自然地扩展了实数域内的概念。 复数是由实部和虚部组成的数，它们的形式为a + bi，其中a和b是实数，i是虚数单位，满足i² = -1。复分析研究这些复数如何作为自变量影响函数的行为，揭示了复数在物理和工程领域中广泛的应用，例如振动理论、电磁学和量子力学。 书中会涵盖复数的基本运算，如加法、减法、乘法和除法，并且会深入讨论复函数，如幂函数z^n（其中z是复数，n是实数或复数）、指数函数e^z和对数函数log z。这些函数的复数扩展具有独特的几何意义，例如，幂函数在复平面上形成了分形图案，而复指数函数是周期性的，这使得它在傅里叶分析中有重要作用。 复分析的核心概念之一是复导数，它扩展了实数上的导数概念，提供了分析函数在复平面上局部线性近似的方法。Taylor还会讨论Cauchy-Riemann方程，这是确定一个函数是否在复平面上可微的必要条件。此外，复积分——包括Cauchy积分公式和留数定理——对于理解复函数的性质和求解实数问题至关重要，比如计算实函数的实积分。 复分析也包含了复分析中的重要定理，如Liouville定理（关于全纯函数的有界性和常数性）和最大模原理（指出在闭区域上解析函数的最大模必须在边界上取得）。这些定理对于理解复函数的整体行为至关重要。 《Introduction to Complex Analysis》是一本全面介绍复变函数理论的教材，适合对复数理论和应用感兴趣的研究生或高级本科生学习。通过阅读本书，读者可以系统地学习复数理论，掌握复分析的基本工具，并能够解决实际问题。书后还附有参考文献和索引，方便读者进一步探索相关主题。