混合投影算法：均衡问题与半相对非扩张映射的强收敛解
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更新于2024-09-06
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本文由步尚全和蔡钢两位作者合作完成，发表在清华大学数学科学系，主要探讨的是在Banach空间框架下的一个新颖迭代算法。研究焦点在于"强收敛定理"，这是一种在解决复杂优化问题时的重要理论工具，特别是在处理均衡问题和多族半相对非扩张映射（hemi-relatively nonexpansive mappings）的固定点问题时。均衡问题涉及求解一组对象在满足特定关系或约束下的最优状态，而半相对非扩张映射则是非线性分析中的一个重要概念，它保证了映射的局部稳定性和收敛性。
混合迭代算法在文中被引入，作为一种有效的搜索策略，旨在寻找平衡两个集合——均衡问题解集和两族半相对非扩张映射的公共不动点集——之间的公共元素。这里的公共不动点是指满足所有映射条件的点，即对每个映射都构成其不动点。通过这种方法，作者不仅解决了经典问题，而且他们的工作还扩展了当前已有的许多前沿研究成果，提升了算法的普适性和有效性。
关键词方面，"强收敛定理"强调了算法在求解过程中表现出的高效性和稳定性，"混合算法"则表明了作者将多种策略融合来增强结果的通用性和适应性。"半非扩张映射"和"均衡问题"作为核心概念，揭示了论文的核心研究领域及其在实际应用中的重要性。
这篇首发论文对于理解在非线性优化和数值计算中如何利用混合方法处理复杂问题提供了新的洞察，并且为未来研究者在这个领域提供了有价值的技术支持。通过严格的数学推导和实证分析，作者展示了他们的算法在解决这类问题时的优越性能，这无疑对相关领域的研究者来说具有很高的参考价值。
˖ڍመڙጲ
http://www.paper.edu.cn
hemi-relatively nonexpansive mappings is more general than the class of relatively nonexpansive
mappings which requires the strong restriction:
F (T ) = F (T ).
Recently concerning the convergence problems of an implicit (or non-implicit) iterative
process to a common fixed point for a finite family of nonexpansive mappings and its extensions
have been considered by a number of authors (see, for example, [10, 11]).
In 2001, Xu and Ori [12]introduced the following implicit iterative process for a finite
family of nonexpansive mappings {T
1
, T
2
, · · · , T
N
}, with {α
n
} a real sequence in (0, 1), and an
initial point x
0
∈ C:
x
1
= α
1
x
0
+ (1 − α
1
)T
1
x
1
,
x
2
= α
2
x
1
+ (1 − α
2
)T
2
x
2
,
.
.
.
x
N
= α
N
x
N−1
+ (1 − α
N
)T
N
x
N
,
x
N+1
= α
N+1
x
N
+ (1 − α
N+1
)T
N+1
x
N+1
,
.
.
.
which can be rewritten in the following compact form:
x
n
= α
n
x
n−1
+ (1 − α
n
)T
n
x
n
, ∀n ≥ 1, (1.3)
where T
n
= T
n(mod N )
(here the mod N function takes values in {1, 2, · · · , N}). Xu and Ori
[12] obtained the following results in a real Hilbert space.
Theorem XO. Let H be a real Hilbert space, C a nonempty closed convex subset of H, and
T : C → C be a finite family of nonexpansive self-mappings on C such that F = ∩
N
i=1
F (T
i
) = ∅.
Let {x
n
} be defined by (1.3). If {α
n
} is chosen so that α
n
→ 0, as n → ∞, then {x
n
} converges
weakly to a common fixed point of the family of {T
i
}
N
i=1
.
On the other hand,Matsushita and Takahashi [13] introduced the following iteration: a
sequence {x
n
} defined by
x
n+1
= Π
C
(α
n
Jx
n
+ (1 − α
n
)JT x
n
), (1.4)
where the initial guess element x
0
∈ C is arbitrary, {α
n
} is a real sequence in [0, 1],T is a
relatively nonexpansive mapping and Π
C
denotes the generalized projection from E onto a
closed convex subset C of E.They prove that the sequence {x
n
} converges weakly to a fixed
point of T .
Recently,Takahashi and Zembayashi [14],proposed the following modification of iteration
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