自控原理复习：线性系统的传递函数分析

"这篇复习资料主要讨论了控制系统的开环传递函数，并通过一个具体的一阶I型系统的例子来计算稳态误差。同时，复习资料涵盖了线性系统的数学模型，包括如何利用微分方程和拉普拉斯变换求解电路系统的传递函数。" 在控制系统理论中，开环传递函数是描述系统动态特性的重要工具。它表示了系统输入信号与输出信号之间的关系，不考虑反馈的影响。对于给定的一阶I型系统，其开环传递函数为 \( G(s) = \frac{K}{Ts+1} \)，其中 \( K \) 是系统增益，\( T \) 是时间常数。在描述的例子中，系统增益 \( K \) 为2，所以开环传递函数为 \( G(s) = \frac{2}{Ts+1} \)。 稳态误差（稳态误差 essr）是指当系统受到阶跃输入后，随着时间趋于无穷大时，输出与期望值之间的差异。对于I型系统，如果输入为单位阶跃函数 \( r(t) = t \)，稳态误差可以通过传递函数的零点位置来确定。对于系统 \( G(s) = \frac{2}{Ts+1} \)，其稳态误差可以表达为 \( essr = \lim_{s\to0} \frac{s}{1 + G(s)} \)。根据题目中的计算，稳态误差 \( essr = \frac{0.5}{S(3S+1)} \cdot \frac{4}{0.2S+1} \cdot \frac{R(S)}{C(S)} \)。 线性系统的数学模型通常通过微分方程或传递函数来描述。对于无源网络，如纯电阻、电感和电容的电路，可以应用基尔霍夫电流定律（KCL）和基尔霍夫电压定律（KVL），结合元件的伏安关系（欧姆定律、电感电压和电容电流的关系）来建立微分方程。对于有源网络，例如含有运算放大器的电路，还需要考虑理想运算放大器的虚短（电压跟随）和虚断（电流为零）特性。 在求解电路系统的传递函数时，可以采用列微分方程法，将电路元素的电压和电流关系转化为微分方程，然后使用拉普拉斯变换将微分方程转换为代数方程，从而得到传递函数。在给定的电路例题中，通过这种方法求得了电路的传递函数 \( G(s) = \frac{sU(s)}{sI(s)} \)，进一步简化得到了 \( G(s) = \frac{1}{R(s)} \) 或 \( G(s) = \frac{1}{RCs + 1} \)，其中 \( R(s) \) 是电路的复阻抗。 这部分复习资料涵盖了控制系统的开环传递函数计算、稳态误差分析，以及线性电路系统的数学建模方法，特别是利用微分方程和拉普拉斯变换求解传递函数的步骤。这些内容是理解和设计控制系统的基础，对于电气工程和自动化专业的学生来说至关重要。