KMP算法详解：从暴力匹配到有限状态自动机

KMP算法，全称为Knuth-Morris-Pratt算法，是一种高效的字符串匹配算法，用于在一个主串中查找是否存在某个模式串。这篇博客（发布于2014年8月22日）由作者July编写，旨在提供一个从基础到深入的理解，以便读者能够彻底掌握这一算法。 1. **引言**：作者在2011年首次尝试撰写KMP算法时，由于缺乏深入理解和经验，文章较为混乱。随着自身对算法理解的深化，以及在开设算法班过程中与其他专家的交流，作者决定对原始内容进行彻底的修订和扩充。 2. **暴力匹配算法**：首先，博客介绍了暴力匹配的基本思想，即逐个字符比较，这在处理长串时效率较低，时间复杂度为O(nm)，其中n是主串长度，m是模式串长度。 3. **KMP算法的定义与步骤**： - **定义**：KMP算法通过预处理模式串，创建next数组，避免了不必要的回溯，从而提高了匹配效率。 - **步骤**： - 计算next数组，它存储了模式串中每个位置向右移动的最大相同前缀长度。 - 在匹配过程中，当遇到不匹配时，根据next数组确定主串的移动步长，避免回溯，从而减少比较次数。 - **关键概念**：next数组的构建是KMP的核心，它通过动态规划的思想预先计算出模式串中部分子串的最长公共前后缀长度。 4. **next数组的求解**： - **递推原理**：next[i]表示模式串中以i为结尾的最长前缀与前缀[i-1]相等的长度，或者等于0。 - **代码实现**：通过迭代过程，根据next数组的定义逐步计算每个位置的值。 5. **基于next数组的匹配**：在实际应用中，使用next数组可以在匹配过程中跳过不匹配的位置，提高了搜索效率。 6. **等价性分析**：无论是基于next数组还是最大长度表，KMP算法都能达到同样的匹配效果，只是实现方式不同。 7. **与有限状态自动机的关系**：KMP算法可以看作是有限状态自动机（Finite State Automaton, FSA）在字符串匹配问题中的应用，利用状态转移来减少比较操作。 8. **next数组的优化**：尽管KMP算法基本是线性的，但通过进一步优化next数组的计算和存储，可以进一步减小空间复杂度。 9. **时间复杂度分析**：KMP算法的时间复杂度为O(n + m)，在最坏情况下仍优于暴力匹配的O(nm)。 10. **扩展算法**：文章还简要提到了BM算法（Boyer-Moore算法）和Sunday算法，这两种算法同样属于高效的字符串搜索算法，但各有特点。 11. **总结与后记**：作者分享了撰写本文的背景和过程，强调了KMP算法看似简单却易被混淆的特点，并鼓励读者在实践中深化理解。 这篇博客提供了详尽的KMP算法详解，适合初学者和进阶者深入学习和实践，有助于提高字符串匹配的效率。