64位以内数论算法：Rabin-Miller与Pollard Rho因数分解

本文主要介绍了在64位以内环境下，如何实现Rabin-Miller强伪素数测试和Pollard Rho因数分解算法。这两种算法在数论和密码学领域中有着广泛应用，尤其是在高效判断素数和分解大合数方面。 Rabin-Miller强伪素数测试是基于Fermat小定理的一种快速素数判定方法。Fermat小定理指出，如果p是素数，那么对于任何非零整数a，都有a^(p-1) ≡ 1 (mod p)。Rabin-Miller算法利用这一点来检测一个数n是否可能是素数。它首先选取一个基数a，然后计算a^(n-1)模n的结果。如果结果不等于1，则n一定不是素数；如果结果是1，n可能是素数，称为以a为基的弱可能素数。为了提高准确率，算法会进行多次不同的基数测试，如果每次测试都得到1，但n确实为合数，那么n就被称为强伪素数。Carmichael数是这种测试的一个例外，它们对所有a都满足上述条件，但自身却是合数。 为了增强测试的可靠性，Rabin-Miller算法引入了平方根的性质。由于素数n的平方根模n只有1和-p/2两个解，所以可以通过连续平方运算来检查这一性质。如果在某次平方运算后，结果不再满足条件，或者在某次平方根提取后找到一个解，那么n通过了强伪素数测试，成为以a为基的强可能素数。 Pollard Rho因数分解算法是一种相对高效的因数分解方法，尤其适用于大合数。它的基本思想是通过随机函数和同余方程构造一个混沌迭代过程，寻找合数的因子。该算法的时间复杂度在最优化情况下可以达到O(n^1/4)，比简单的试除法要快得多。具体步骤包括选择随机函数f(x)，初始值x_0和y_0，以及一个模数c，然后进行迭代计算x_{i+1} = f(x_i)和y_{i+1} = f(f(y_i))模n，直到找到两个x_i和y_j满足gcd(|x_i - y_j|, n) ≠ 1，这时|x_i - y_j|就是n的一个非平凡因子。 这两种算法在64位环境下的实现需要考虑到数值溢出的问题，并且需要优化算法以适应有限的计算资源。在实际应用中，Rabin-Miller测试通常用于初步筛选素数，而Pollard Rho则用于分解筛选后的合数，两者结合可以有效地处理64位以内的整数因数分解问题。在编程竞赛如POJ1811等中，这样的组合策略是解决相关问题的关键技术。