利用2次复解析多项式构建非线性迭代函数系

"该研究论文探讨了如何利用2次单参复解析多项式构建非线性迭代函数系，以此来创建新型的分形图形。作者通过构造2次多项式复映射的1周期参数集合，选取多个参数生成迭代映射，并基于这些映射构建非线性IFS（迭代函数系）。通过迭代函数系中的一个映射连续作用于平面的压缩不动点，可以生成奇怪吸引子或分形图像。这种方法展示了在平面上构造各种奇怪吸引子和分形的潜力，并且实验结果证实其有效性。关键词包括分形、迭代函数系、非线性动力学、M集、充满Julia集和奇怪吸引子。该研究得到了国家自然科学基金的支持，并在《计算机辅助设计与图形学学报》第28卷第2期发表。" 这篇研究的核心知识点包括： 1. **非线性迭代函数系(IFS)**: 非线性迭代函数系是由一组非线性函数构成的集合，这些函数可以用来迭代地构造复杂的几何形状，如分形。IFS是描述和生成分形图像的一种强大工具。 2. **2次单参复解析多项式**: 这种类型的多项式函数包含两个复数系数，其中一个是可以调整的参数。复解析意味着函数在复平面上是解析的，即它可以被展开为幂级数。 3. **1周期参数集合**: 在复解析2次多项式的参数空间中，1周期参数集合是指那些导致函数具有特定周期行为的参数值的集合。在本文中，这个集合是构建IFS的基础。 4. **迭代映射**: 通过选取1周期参数集合中的参数，可以得到一系列映射。这些映射在IFS中用于迭代计算，以生成分形结构。 5. **压缩不动点**: 不动点是函数映射下保持不变的点。如果这个点同时也是压缩的，意味着在其周围的小区域会被函数映射收缩，那么在迭代过程中，这可以导致复杂而稳定的分形结构。 6. **奇怪吸引子**: 奇怪吸引子是混沌理论中的一个重要概念，它们是动态系统中吸引子的一种，具有复杂的几何形状和不可预测的行为。 7. **分形**: 分形是一种自相似的几何结构，即使放大无数倍，其细节仍然保持着相似的模式。在自然界和数学中都有广泛的应用。 8. **M集**与**充满Julia集**: M集通常指的是曼德勃罗集，是非线性动力学中的一个著名分形，而充满Julia集是与特定复数参数相关的Julia集，它充满了整个复平面上的某些区域。 9. **非线性动力学**: 非线性动力系统的研究涉及混沌理论、分形和复杂性科学，这些系统的行为往往非常敏感依赖于初始条件，且表现出难以预测的模式。 此研究方法对于理解和生成新的分形图形具有重要意义，同时也为非线性动力学领域的研究提供了新的视角和工具。通过这种方法构造出的分形图像不仅有独特的美学价值，还可能在密码学、图像处理和物理模型等领域中有潜在的应用。