并行计算中的有回代高斯消去法

"这篇讲义来自中国科学技术大学，主题聚焦于有回代的高斯消去法在并行计算中的应用。内容涵盖了并行计算的基础理论、并行算法设计、并行数值算法以及并行程序设计等多个方面。" 在数学和计算机科学中，有回代的高斯消去法是一种解决线性方程组的有效方法。该方法通过两个主要步骤来求解线性方程组：消元和回代。首先，通过一系列行变换将系数矩阵A转化为上三角矩阵T，这个过程称为消元。在消元过程中，通常会选择主元策略以提高算法的数值稳定性，避免因数值误差导致的计算不稳定。主元选择策略通常包括最大绝对值主元、最小绝对值主元等，它们有助于减少计算过程中产生的舍入误差。 在消元完成后，得到上三角矩阵T和简化后的向量X，接下来进行回代过程。回代是根据上三角矩阵的性质，从最底部的未知数开始，逐次向上求解每个未知数的值。具体来说，对于线性方程组TX=c，从最后一个方程开始，用已知的下一行元素解出当前未知数，然后用这个解去解上一行的方程，如此递归直至解出所有未知数。 并行计算是利用多处理器或多核心同时处理任务，以提高计算效率和解决大规模问题的关键技术。讲义中提到了并行计算的结构、算法和编程，这包括了并行计算机系统的基本结构模型，如SMP（Symmetric Multi-Processing，对称多处理）、MPP（Massively Parallel Processing，大规模并行处理）和Cluster（集群）。并行计算性能评测也是重要的一环，它涉及到如何衡量并行系统的性能和效率。 在并行算法设计部分，讲解了并行算法的基础、一般设计方法和技术，以及具体设计过程。特别地，线性方程组的求解是并行数值算法的重要组成部分，高斯消去法在并行环境下的实现能够显著提升计算速度。此外，还讨论了基本通信操作、稠密矩阵运算以及快速傅里叶变换等关键算法。 并行程序设计部分则介绍了并行程序设计的基础，包括并行程序设计模型，如共享存储系统和分布式存储系统的编程，以及并行程序设计环境和工具的使用。这些内容对于理解和实现高效的并行算法至关重要。 这篇讲义深入浅出地探讨了有回代的高斯消去法在并行计算中的实现，同时也全面覆盖了并行计算的基础知识、算法设计和编程实践，是学习并行计算和数值分析的宝贵资料。