马尔可夫信源符号自信息量计算及二阶马尔可夫链稳态概率分析

在IT面试中，遇到关于“求每个符号的自信息量”的问题时，这个问题涉及到了信息论的基本概念，特别是香农熵（Shannon entropy）和符号的自信息（self-information）。自信息量是衡量单个符号出现不确定性或信息含量的度量，它定义为一个符号出现的概率的负对数，即$I(x) = -\log_2(p_x)$，其中$x$是符号，$p_x$是$x$发生的概率。 在给定的示例中，信源发出的符号序列是{202 120 130 213 001 203 210 110 321 010 021 032 011 223 210}。首先，我们需要计算每个符号出现的频率，然后用这些频率来计算它们对应的自信息量。例如，如果2这个符号出现了3次，频率为$\frac{3}{15}$，那么它的自信息量$I(2) = -\log_2(\frac{3}{15})$。通过这种方式，我们可以得到所有符号的自信息量，如题目中提到的1, 2, 和1.415 bit。 平均每个符号携带的信息量，也称为信源熵或香农熵，是所有符号自信息量的加权平均，即$H(X) = \sum_{x \in X} p_x I(x)$，其中$X$是符号集合，$p_x$是$x$的概率。这个值反映了信源发出消息的平均不确定度或信息量。 在第二个部分，题目给出了一个马尔可夫信源的例子，这是一个具有记忆的信源模型，其中转移概率决定了符号序列的生成。在马尔可夫信源中，当前状态不仅取决于前一个状态，还可能取决于更早的状态，因此计算自信息量时需要考虑整个序列的统计特性。对于马尔可夫链，状态转移矩阵包含了状态之间的转移概率，而稳态概率则是经过多次迭代达到稳定状态时各个状态的概率分布。 对于二阶马尔可夫链，我们不仅需要知道单个符号的自信息，还需要考虑到上下文的影响，即基于前后两个符号的概率来确定当前符号的自信息。通过画出状态图和计算状态转移矩阵，可以找到状态间的依赖关系，并计算稳态概率，这对于理解信源的长期行为非常重要。 总结来说，解答此类问题时，需要掌握自信息量的计算方法，了解如何根据信源的符号概率分布计算信源熵，以及在马尔可夫模型中的应用，包括状态转移概率矩阵的构建和稳态概率的求解。这些都是信息论中基本且实用的技术，在实际的通信系统设计、数据压缩、编码理论等领域有着广泛的应用。