三角形单元有限元求解椭圆型偏微分方程的数值方法

"椭圆型偏微分方程的三角形单元有限元的数值解法，俞辉，杨臻豪，奉继明，瞿少成，三峡大学理学院，华中师范大学电子信息工程系，国家自然科学基金项目" 本文探讨的是椭圆型偏微分方程的数值解法，具体是利用三角形单元的有限元方法。随着计算机图形学的进步，三角形网格划分技术已经非常成熟，能够生成高质量的三角形单元，这对于提高偏微分方程数值解的精度至关重要。文章中提到的节点增量算法用于对问题区域进行三角形划分，生成的单元满足Ｄｅｌａｕｎａｙ条件，这是一种保证网格质量的几何条件，使得每个内角均小于180度，从而确保网格的均匀性和稳定性。 接着，作者们引入了自适应编号策略，这有助于优化计算过程，确保在复杂的几何形状中也能有效处理。自适应编号通常是指根据网格的结构和计算需求，对节点进行有序编号，便于后续的矩阵操作和求解过程。 三角形单元的有限元方法是将连续域离散化为有限个互不重叠的子区域，每个子区域（三角形）内部构造局部解，并通过边界条件和接口条件将这些局部解组合成整个问题的全局解。这种方法的关键在于构建合适的插值函数（基函数），如拉格朗日多项式，以及组装和求解线性系统。 在数值实验部分，作者们对比了传统的三角形单元有限元方法，证明了所提出的方法能有效地减少舍入误差，提高计算精度。舍入误差是由于数值计算过程中浮点数运算的不精确性导致的，优化的三角形单元和编号策略有助于降低这种误差的影响。 偏微分方程在许多工程领域，如流体力学、电磁学、固体力学等，都有广泛的应用。例如，Ｎａｖｉｅｒ－Ｓｔｏｋｅｓ方程是描述流体流动的基本方程，通过有限元方法求解这些方程，能够获得流场的近似解，为设计和分析工程问题提供依据。因此，改进的三角形单元有限元方法对于提高工程问题的模拟精度具有重要意义。 该研究论文关注的是提高椭圆型偏微分方程数值解的准确性和效率，其方法对于现代科学计算和工程应用具有实用价值，特别是在需要高精度解的场景下。