数学归纳法：证明自然数命题的通用步骤

在《计算机软件技术基础》（第三版）中，章节1.1集中探讨了集合这一核心概念，这是数学归纳法证明的基础。集合是数学中用来描述具有共同属性元素的抽象概念，通过列举法或性质叙述法来表示，如列举集合{2, 3, ..., 99}代表所有大于1且小于100的整数，或者用性质叙述法{a | 1 < a < 100}表示同一集合。 数学归纳法是证明一个命题对所有自然数成立的有效方法。其步骤包括： 1. 基础步骤：首先证明命题对于自然数1是成立的，这是归纳的起点。 2. 归纳假设：假设命题对于某个特定范围内的自然数n-k至n-1（其中n>k）是真实的。 3. 归纳步骤：利用归纳假设，证明当n增加时，命题仍然保持为真。这通常涉及将命题在n和n-1之间的形式转换，确保其逻辑一致性。 集合的运算是理解这些证明的重要工具，如并集（M∪N）表示两个集合的所有不同元素的集合，交集（M∩N）表示两个集合共享的元素，差集（M－N）则表示属于M但不属于N的元素。这些运算遵循一定的法则，如结合律和交换律，但差集不满足交换律，如例题中A与B的并集、交集和差集的计算。 通过理解集合的概念和运算，特别是集合与数学归纳法的结合，读者能够掌握证明命题对所有自然数成立的关键技巧，这对于软件开发人员来说，是建立严谨逻辑思维和解决复杂问题的基础。在计算机三级考试中，掌握这些基础知识尤为重要，因为它们在编程算法设计、数据结构分析以及软件验证等环节都有直接应用。