利用Miller-Rabin算法验证大数素性：重复测试与概率分析

本篇课件《重复使用Miller-Rabin算法 - 密码学课件(8)_USTC》深入讲解了Miller-Rabin素性测试方法，这是一种基于概率的素数判断算法。Miller-Rabin算法在密码学中扮演着重要角色，用于验证一个大整数是否可能是素数。算法的基本原理是，对于一个非素数n，当随机选取的基a满足一定条件时，使用TEST函数进行检验，它可能返回“复合”或“不确定”。若返回“不确定”，则表明n可能是素数，但不能完全确定。 该算法的不确定性源于其依赖于随机性和概率性。理论上，对于一个非素数，连续多次测试返回不确定的概率会随着测试次数t的增加而减小。具体来说，选择t个不同的a进行测试，每次测试n不是素数的概率为1/4，所以t次测试都不确定的概率小于(1/4)^t。例如，取t=10时，这个概率已接近于10^-6，这意味着即使存在非素数，经过10次测试几乎可以排除它是素数的可能性。 因此，通过重复使用Miller-Rabin算法，如果连续多次测试（如t=10次）都返回“不确定”，我们就可以有很高的信心认为输入的整数n是素数，其误报率非常低，接近于1-4^(-t)。这种方法为实际应用中的素性判断提供了一种有效且实用的手段，尤其是在需要高效筛选大数素性的情况下，如在公钥加密系统如RSA中。 课件还引用了一个典故，展示了数论在密码学中的核心地位，以及素数问题的重要历史背景。通过这些内容，学生不仅学习到了算法本身，还能体会到数学在实际问题中的应用价值和挑战。 这堂课旨在引导学生理解Miller-Rabin算法的工作原理、概率分析以及其在密码学实践中的作用，强调重复使用和适当参数选择的重要性，为后续章节关于公钥密码和散列函数的学习打下坚实的基础。