集合论与图论作业：集合运算与证明

"这是一份关于集合论与图论的作业，主要涵盖了集合的基本运算、性质及相关的证明题目。作业内容包括写出方程根的集合、集合运算的证明、命题的真假判断等，还涉及了笛卡尔积、子集、并集、交集等概念。" 在这份2021年的“集合论与图论”作业中，我们看到了一系列与集合论和图论基础概念相关的练习题。以下是部分题目解析： 1. 题目要求写出方程的根所构成的集合，这涉及到解方程和理解元素的概念。例如，如果方程是x^2 - 4 = 0，根就是x=±2，因此集合就是{2, -2}。 3. 该题证明的是集合的幂集的性质，即n个集合的幂集元素数量等于2^n。需要使用归纳法或计数原理来证明。 4. 设A是某个特定的集合，这里可能要求求集合A的幂集的元素数量。如果A有n个元素，其幂集将有2^n个元素。 6. 这是集合的差集性质的证明，需要证明A-(B∪C) = (A-B)∩(A-C)。 7. 题目要求证明A-B⊆A，这是集合减法规则的一部分，表明从集合A中去掉B的所有元素后的结果仍然在A内。 10. 证明A-(B-C) = (A-B)∪C，这涉及到集合的差集和补集运算。 12. 若A-B⊆C且A-C⊆B，要证明B=C，这需要利用集合的包含关系。 15. 命题涉及集合的并集、交集和空集性质。例如，(1) 和 (2) 都不正确，因为有可能存在A和B使得A≠B但A∪B=A。 16. 这是一系列关于集合的等价命题，需要判断它们的真假。例如，(a) 不正确，因为可能存在A≠B但A∪B=A；(b) 也不正确，因为A=B不一定意味着B=C。 18. 这是填写集合表达式的题目，可能涉及到并集、交集、差集等运算。 21. 化简集合表达式通常涉及集合的运算规则，如结合律、分配律等。 24. 求集合的笛卡尔积，需要知道集合A和B的元素，然后生成所有可能的序对。 25. 证明A×B=B×A的充要条件，通常需要用到集合的对称性和笛卡尔积的定义。 31. 计算笛卡尔积A×B的元素数量和子集数量，需要应用乘法原理和2的幂次法则。 33. 这是一个概率问题，涉及到集合的交集，需要通过集合的性质计算同时学习德文和法文的学生比例。 以上只是部分题目的解析，每个题目都深入探讨了集合论的基本概念和运算，是理解集合论和图论理论的重要实践练习。这些题目有助于巩固学生的理论知识，并提高他们在实际问题中应用这些知识的能力。