主成分分析与因子分析：降维与综合指标的关键方法

因子分析和主成分分析是两种常见的多元统计分析技术，在处理大量相关变量时，它们被广泛应用于科学研究和数据分析中。这两种方法旨在通过降维减少变量的数量，同时尽可能保留原始数据的主要信息。 主成分分析（PCA）是一种无监督学习方法，其基本思想是从原始变量中找出一组线性组合，形成新的独立的综合指标，这些综合指标被称为主成分。主成分分析过程首先计算每个变量之间的协方差矩阵，然后通过特征值分解找到主成分。选择主成分的标准通常基于特征值大于1或者累计贡献率超过某个阈值（如80%），这样确保了新产生的主成分能够解释大部分原始数据的变异。 因子分析则是在PCA的基础上，进一步假设变量之间存在潜在的结构或共同因素，即因子。在因子分析中，研究者先预设想要发现的因子数量，然后通过估计变量对因子的影响程度（因子载荷）来构建数学模型。因子旋转（factor rotation）这一额外步骤是为了优化因子解释变量的方式，常见的旋转方法有正交旋转（如Promax和Varimax）和非正交旋转（如Direct Oblimin）。因子分析的结果包括因子载荷矩阵，以及每个原始变量如何由选定的因子线性组合而成。 例如，在SPSS中执行主成分分析或因子分析时，用户可以选择菜单路径Analyze > Data Reduction > Factor，设定变量和分析参数。在给出的实例中，对洛杉矶人口调查区的五个经济学变量（如人口、学校、就业、服务和住房）进行分析，通过主成分法（Principal Components）提取两个主要的主成分或因子，结果显示每个原始变量与因子的关系，从而简化了数据表示并提供了更深层次的洞察。 主成分分析和因子分析都是为了减少数据复杂性，但主成分分析更注重最大化方差解释，而因子分析强调变量之间的潜在结构。在实际应用中，根据研究目的和数据特性，选择合适的方法进行数据降维至关重要。