初等数论讲义：从唯一分解到高次同余方程

"初等数论讲义修改版.pdf" 是一份关于初等数论的教育资料，由张起帆编著，适用于程序员提升数学素养。讲义涵盖了多个数论核心概念，包括唯一分解定理、同余式、周期问题、孙子定理、高次同余方程、原根与二次剩余、二次互反律、素数平方和问题、模m的原根、群论基础以及数论函数。 1. **唯一分解定理**：这是数论的基础，它表明每个正整数都可以唯一地表示为质数的乘积，即每个正整数都能被分解为若干个质数的乘积，且这个分解是唯一的，不考虑因数的顺序。讲义详细介绍了带余除法、同余语言以及如何证明这个定理，并给出了应用实例。 2. **同余式与周期问题**：这部分内容探讨了同余的概念，其基本性质，以及周期的概念。例如，Eratosthenes筛法用于找出素数，一次不定方程在数论中的应用，以及Fermat数和Mersenne数。 3. **孙子定理与Wilson定理**：孙子定理是解决中国剩余定理的一个特例，涉及到整数除法的问题。而Wilson定理则是关于素数的一个重要性质，它指出，如果p是素数，则(p-1)! ≡ -1 (mod p)。 4. **高次同余方程**：这部分讲解了解同余方程的一般原则，特别是模素数幂和模素数的同余方程，这些对于理解数论中的计算方法至关重要。 5. **原根与二次剩余**：原根是模p下满足一定性质的元素，讲义讨论了原根的存在性、判别准则，以及与二次剩余和勒让德符号的关系。二次互反律是数论中的一个深奥定理，涉及到两个不同质数的平方是否能模另一质数同余的问题。 6. **素数平方和问题**：主要定理阐述了素数可以表示为其他整数平方和的情况，以及Gauss整数的算术及其应用。 7. **模m的原根**：这部分内容讨论了模m下原根存在的条件，以及与指数和公钥密码学应用的联系，如RSA加密算法。 8. **群、环、域理论简介**：群论是抽象代数的基础，讲义介绍了群的基本概念、例子，以及似曾相识的群论原理。同时，还涉及环和域的概念，它们是代数结构的核心。 9. **数论函数**：这部分介绍了基本的数论函数，如pot、麦比乌斯函数和Euler函数，以及Dirichlet乘积，这些都是研究数论性质的重要工具。 10. **分析方法初步**：讲义通过麦比乌斯反演公式引入分析方法，这是数论中一个强大的工具，用于揭示数论函数之间的关系。 这份讲义不仅提供了对数论基础知识的深入理解，还为学习者提供了进一步探索高级数论概念的坚实基础，对程序猿提升数学能力有极大帮助。