假设检验应用：矿砂镍含量与黄金矩形分析

"概率论与数理统计习题答案完全版 浙大第四版（高等教育出版社）" 在概率论与数理统计的学习中，我们经常会遇到假设检验的问题，这是一种用于判断观测数据是否支持某一理论假设的方法。在给定的文件中，有两个具体的假设检验实例。 第一个例子涉及矿砂中镍含量的测定。假设有5个矿砂样品的镍含量分别为3.25%, 3.27%, 3.24%, 3.26%, 3.24%。我们想要检验这些测定值是否来自平均含量为3.25%的正态分布总体。在这个问题中，我们设立零假设 \( H_0 \): \( \mu = 3.25 \)，备择假设 \( H_1 \): \( \mu \neq 3.25 \)，其中 \( \mu \) 是总体的平均含量。由于总体方差未知，我们选择t检验，选取检验统计量为 \( t = \frac{\bar{X} - \mu_0}{S/\sqrt{n}} \)，其中 \( \bar{X} \) 是样本均值，\( S \) 是样本标准差，\( n \) 是样本大小。根据数据，我们计算得到 \( t \) 的值，并查找t分布表来确定拒绝域。在这个案例中，由于 \( n=5 \) 和显著性水平 \( \alpha = 0.01 \)，我们发现 \( t \) 值小于临界值，因此在 \( \alpha = 0.01 \) 下接受 \( H_0 \)，这意味着我们没有足够的证据拒绝平均镍含量为3.25%的假设。 第二个例子未给出具体数值，但它提到黄金矩形的概念，这是一个宽度与长度之比近似于1.618的矩形，被广泛应用于建筑和设计中。黄金矩形的定义是宽度 \( \omega \) 与长度 \( l \) 满足 \( \frac{\omega}{l} \approx 0.61803398875 \) 或 \( \frac{l}{\omega} \approx 1.61803398875 \)。这个比例被认为具有美学上的吸引力。 这两个例子展示了假设检验在实际问题中的应用，包括在统计推断中如何建立假设，选择适当的检验统计量，以及如何根据计算结果作出决策。同时，黄金矩形的例子则反映了数学原理在艺术和设计领域的应用。