使用树状数组实现归并排序求小和

"树状数组归并排序应用计算数组的小和1" 在计算机科学中，排序是数据处理的基础操作，而树状数组（也称为 Fenwick Tree）是一种高效的数据结构，常用于动态维护数组的前缀和。在这个问题中，我们讨论如何结合树状数组和归并排序来解决特定的计算问题，即找到数组中的小和。 首先，让我们理解树状数组（Fenwick Tree）。树状数组是一个数组的辅助数据结构，它可以快速地计算从某个位置到数组末尾的前缀和，同时支持单点更新。初始化时，树状数组通常为全零。当我们需要更新数组的一个元素时，通过一系列的加法操作更新对应的树状数组位置。查询时，通过从目标位置逐级向上计算树状数组的和，可以得到从某位置到数组末尾的和。 在给定的代码中，`FenwickTree` 类实现了树状数组的基本操作：`__init__` 初始化函数、`_lowbit` 计算低二进制位的函数、`add` 更新函数以及 `query` 查询函数。这些函数使得树状数组能有效地进行动态维护和查询。 接下来，我们来看如何用归并排序。归并排序是一种稳定的排序算法，它将数组分成两半，分别排序，然后合并这两个已排序的半部分。在这个问题中，我们先对原始数组 `nums` 进行归并排序，得到有序数组 `sorted_nums`。这一步的目的是找出数组中每个值的频率，因为对于计算小和，我们需要知道每个元素出现的次数。 在排序过程中，我们创建了一个映射 `mapping`，键是排序后的元素值，值是这个值在原数组中出现的次数。通过这种方式，我们可以在 O(1) 时间内获取每个元素的频率。 然后，我们定义了 `solve` 函数，用于解决计算小和的问题。这个函数首先初始化 `ret` 为 0，然后遍历映射 `mapping` 的值，对于每个值 `n`，我们将其乘以它的出现次数 `cnt`，然后累加到 `ret` 中。这样做是因为对于数组中的每个元素，其小和就是这个元素本身乘以其出现的次数。 通过这样的组合，我们可以有效地找到数组中所有元素的最小和。例如，如果数组是 `[1, 3, 5, 2, 4, 6]`，我们首先通过归并排序得到 `[1, 2, 3, 4, 5, 6]`，然后创建映射 `{1: 1, 2: 1, 3: 1, 4: 1, 5: 1, 6: 1}`，最后计算小和得到 `1*1 + 2*1 + 3*1 + 4*1 + 5*1 + 6*1 = 21`。 总结起来，这个例子展示了如何结合树状数组和归并排序来解决计算数组小和的问题。树状数组的高效查询和更新能力，与归并排序的稳定性和分治思想，共同构建了一个高效且简洁的解决方案。在实际编程中，这种组合常常用于处理需要动态维护和排序的数据集，尤其在处理大规模数据时，其效率优势更为明显。