C++实现迭代法解线性方程组：Jacobi、Gauss-Seidel与SOR

"该资源是关于数值分析中的迭代法在C++编程环境下的实现，主要涉及Jacobi迭代法、Gauss-Seidel迭代法和SOR（Successive Over-Relaxation）迭代法，用于求解线性方程组。" 本文将详细解释这三种迭代法及其在C++程序中的应用。 1. Jacobi迭代法： Jacobi迭代法是一种求解大型稀疏线性方程组的数值方法。其基本思想是将系数矩阵A分解为对角部分D、上三角部分U和下三角部分L，即A=D-L-U，然后通过迭代公式x(k+1) = D^(-1)(b - Ux(k)) - L^(-1)x(k)来逐步逼近解。在给出的C++程序中，首先分配内存，输入矩阵和右端项，然后计算矩阵的对角元素，并对矩阵进行预处理，最后进行迭代计算直到达到预定的精度或达到最大迭代次数。 2. Gauss-Seidel迭代法： Gauss-Seidel迭代法是Jacobi迭代法的改进版本，它在更新每个元素时使用当前已知的新值，而不是前一次迭代的值。迭代公式为x_i(k+1) = (1/di)*[bi - Σ(A_ij*x_j(k))]，其中i=1,2,...,n，j=1,2,...,i-1,i+1,...,n。Gauss-Seidel法通常比Jacobi法收敛更快，因为它利用了新值的即时信息。 3. SOR迭代法： SOR迭代法是Gauss-Seidel法的一种加速形式，通过引入松弛因子ω来提高收敛速度。迭代公式为x_i(k+1) = (1-ω)*x_i(k) + ω*(1/di)*[bi - Σ(A_ij*x_j(k+1))]。ω的选择对收敛性至关重要，合适的ω可以使算法更快收敛。 在C++程序中，这些迭代法的实现包括以下步骤： - 分配和初始化内存，读取用户输入的矩阵和右端项。 - 检查系数矩阵的对角元素是否为零，以确保迭代的可行性。 - 对矩阵进行预处理，如计算对角元素的倒数等。 - 设置迭代次数限制和精度阈值。 - 进行迭代计算，每次迭代更新所有未知数，检查是否满足终止条件（达到精度或达到最大迭代次数）。 - 在达到终止条件后，输出解并释放内存。 这三种迭代法在实际问题中非常有用，特别是在大型线性系统中，直接求解方法（如高斯消元法）可能效率低下。迭代法通过逐次逼近解，可以在保持较低计算复杂度的同时，解决大规模线性方程组。然而，选择适当的迭代方法和参数（如松弛因子ω）对收敛性和计算效率有很大影响，需要根据具体问题进行调整。