图论讲解：Dijkstra算法求最短路径

"该资源主要介绍了图论中的最短路径问题，特别是带权有向图的最短路径。内容涵盖图的基本定义、存储结构、遍历、连通性以及有向无环图的应用。核心是Dijkstra算法，用于按路径长度递增顺序生成最短路径。" 在计算机科学和图论中，图是一种抽象的数据结构，它由顶点和边构成，用来表示对象之间的关系。在第七章中，讲解了图的各种概念，包括： 1. **图的定义和术语**：图由顶点（节点）和边（连接顶点的线）组成，可以是有向的（边有方向）或无向的（边无方向）。边可能带有权重，表示某种度量，如距离、成本或时间。 2. **图的存储结构**：常用的存储结构有邻接矩阵和邻接表，前者用二维数组表示每个顶点的相邻顶点，后者则用链表记录每个顶点的邻接关系，节省空间。 3. **图的遍历**：包括深度优先搜索（DFS）和广度优先搜索（BFS），用于访问图的所有顶点，DFS常用于寻找连通性，BFS则常用于求最短路径。 4. **图的连通**：图的连通性关注图中是否存在从任意顶点到其他任意顶点的路径，无环连通图可以是树形结构。 5. **有向无环图（DAG）及其应用**：DAG在许多领域都有应用，例如任务调度、数据流分析等，它们没有形成循环的边，因此不存在回路。 6. **最短路径**：这是图论中的一个重要问题，特别是对于交通网络，找到两点间的最短路径至关重要。最短路径不仅考虑路径的存在，还涉及权值最小的路径选择。 Dijkstra算法是解决单源最短路径问题的著名算法，由Edsger Dijkstra提出。算法的核心思想是逐步扩大已知最短路径的顶点集合S，同时维护一个未处理顶点集合V-S，通过不断更新路径长度来确保每次加入S的顶点对应当前最短路径。Dijkstra算法使用一个优先队列（通常用最小堆实现）来按照路径长度递增的顺序处理顶点，每次从队列中取出具有最短路径的顶点u，然后更新与u相邻的未处理顶点Vj的最短路径。 在Dijkstra算法中，每一步都会比较当前已知的源点到顶点Vj的最短路径和经过u的新路径，如果新路径更短，则更新最短路径。这个过程持续到所有顶点都被处理，即找到了从源点到所有其他顶点的最短路径。 总结来说，本资源详细介绍了图的理论基础和最短路径问题，特别是Dijkstra算法的原理和步骤，对理解和解决实际问题如网络路由、交通规划等具有重要价值。