偏最小二乘法原理与Matlab实现：处理高维相关变量的高效建模

偏最小二乘法（Partial Least Squares，PLS）是一种在处理多对多变量关系时常用的统计分析技术，尤其在自变量和因变量数量众多且存在多重相关性，而样本量相对较少的情况下表现出优越性。它的原理基于线性回归和主成分分析的思想，旨在找到一组能最好地解释自变量和因变量之间关系的主成分。 PLS回归的建模过程可以分为以下几个步骤： 1. **主成分提取**：首先，从自变量（预测变量）中提取第一主成分1_t，这是一个线性组合，尽可能地包含自变量集中的最大变异信息。同时，针对因变量（响应变量）提取第一主成分1_u，目的是使1_t与1_u之间的相关性最大化。 2. **逐步建模**：接着建立因变量1_u与提取出的第一自变量主成分1_t之间的回归模型。如果模型精度满足要求，就停止；否则，继续提取第二对成分，直到达到预设的精度标准。 3. **多阶回归**：最终，当自变量集提取出r个成分后，PLS回归会构建p个因变量与这r个自变量主成分的回归模型，再转化为关于原始自变量的表达式，形成PLS回归方程。 4. **标准化处理**：为了简化计算，通常假设因变量和自变量都是标准化的，这样可以避免不同尺度变量对分析的影响。标准化后的观测数据矩阵用于计算。 PLS回归的优点在于它能够处理高维数据，同时兼顾到自变量和因变量的复杂相关性，提供了比经典多元线性回归（MLR）和主成分回归（PCR）更全面的信息。通过PLS回归，不仅可以得到一个可靠的回归模型，还能进行类似主成分分析和典型相关分析的附加研究。 在实际应用中，PLS回归广泛用于诸如生物化学、化学计量学、经济预测等领域，特别是在处理大量变量的变量选择和模型解释方面。MATLAB提供了相关的函数库支持PLS建模，如` plsregress` 函数，使得PLS方法的实施变得便捷。通过实例演示和比较，PLS回归的性能和适用性得到了直观的展示。