单极倒立摆系统状态空间建模与求解

"倒立摆建模与求解.pdf 是一份详细讲解单极倒立摆系统的文档，内容涵盖了如何建立状态空间表达式以及求解动态模型。这份资料适合初学者快速掌握倒立摆的理论基础和计算方法。" 倒立摆是一种经典的控制理论问题，广泛应用于机器人技术、航天器稳定和力学研究等领域。单极倒立摆系统由一个固定在移动平台上可以绕垂直轴自由摆动的摆组成，其主要挑战在于保持摆杆的直立状态。 在建立状态空间模型时，我们首先考虑物理方程。对于水平方向，小车（平台）的运动由小车的质量\( m \)、加速度\( u \)以及摆球的力矩贡献决定；摆球的运动则受到重力的影响。牛顿第二定律被用来描述这两个部分的动力学行为： 1. 对小车应用牛顿第二定律，水平方向的力平衡方程为： \[ M\ddot{y} = ml\ddot{\theta}\sin(\theta) \] 2. 对摆球应用牛顿第二定律，考虑重力在水平方向的作用： \[ m\ddot{\theta}\sin(\theta) = -mg\sin(\theta) \] 接着，我们利用角度\(\theta\)的导数\(\dot{\theta}\)和\(\ddot{\theta}\)来表示角速度和角加速度，然后对摆球的运动方程进行线性化。当角度\(\theta\)和其导数\(\dot{\theta}\)较小时，我们可以近似\(\sin(\theta)\approx \theta\)，\(\cos(\theta)\approx 1\)，简化方程。经过线性化，我们得到： \[ \ddot{\theta} \approx \frac{g}{l}\theta \] 进而，我们能够求解出小车加速度\( \ddot{y} \)与摆球角加速度\( \ddot{\theta} \)的表达式： \[ \ddot{y} = \frac{M}{m}(g\theta + \ddot{\theta}) \] \[ \ddot{\theta} = \frac{g}{l}\theta - \frac{m}{Ml}\ddot{y} \] 为了构建状态空间模型，我们选择状态变量\( x_1 = \theta \)，\( x_2 = \dot{\theta} \)，\( x_3 = y \)，\( x_4 = \dot{y} \)，系统输入为控制力\( u \)，系统输出为角度\( \theta \)。这样，我们得到状态方程： \[ \begin{bmatrix} \dot{x}_1 \\ \dot{x}_2 \\ \dot{x}_3 \\ \dot{x}_4 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 & 1 & 0 & 0 \\ \frac{g}{l} & 0 & -\frac{m}{Ml} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ \frac{M}{m} & 0 & 1 & 0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \\ x_4 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \\ \frac{M}{m} \end{bmatrix} u \] 同时，输出方程为： \[ y = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \\ x_4 \end{bmatrix} \] 这个状态空间模型为后续的控制器设计和稳定性分析提供了基础。通过适当的控制器设计，可以确保倒立摆保持稳定，即使在初始倾斜或外部扰动的情况下。