压缩存储与快速求解：有限元刚度矩阵的组集方法

"有限元刚度矩阵的压缩存储与快速求解技术，主要涉及有限元分析中的数据存储优化和高效解算方法。文章作者通过‘细胞元’索引存储方案，提出了一种仅存储非零元素的组集方法，显著减少了内存需求。这种方法适用于自适应网格细化的有限元分析，避免了因节点和单元编号模式改变导致的额外存储开销。文中还探讨了一维压缩存储下的稀疏矩阵直接解法和预处理共轭梯度法，通过编程实现并用实例验证了其正确性和可靠性，与ANSYS软件的计算结果对比，误差不超过2%。" 有限元方法是工程和科学计算中常用的一种数值分析工具，尤其在结构分析中，它能有效处理复杂的几何形状和非线性问题。在有限元分析过程中，大型稀疏线性方程组的求解是核心步骤。这些方程组通常由结构的刚度矩阵表示，其大小与结构的自由度数成正比，随着模型复杂度的增加，存储刚度矩阵所需的内存空间急剧上升。 传统的刚度矩阵存储方案，如二维等带宽存储和一维变带宽（Skyline）存储，都存在一定的局限性。二维等带宽存储可能导致局部带宽过大，增加存储需求；一维变带宽存储虽节省空间，但仍然需要存储大量零元素，且受单元和节点编号影响。为了解决这些问题，文章提出了一种基于“细胞元”的新存储策略，只存储非零元素，大大减少了内存占用，并且不受网格编号模式的影响，尤其适合自适应网格细化分析。 文章进一步讨论了在压缩存储的刚度矩阵上应用的求解策略。针对一维压缩存储格式，研究了两种求解方法：稀疏直接求解法和预处理共轭梯度法。前者适用于直接解大型稀疏矩阵，后者是一种迭代方法，常用于大规模线性系统的求解，通过预处理可以提高求解效率。通过编程实现这些方法，并用一个地铁车辆的有限元模型作为实例，计算结果与商业软件ANSYS的计算结果一致，证明了所提出的存储方案和求解方法的正确性和效率。 本文的研究不仅优化了有限元分析中的数据存储，还提供了有效的求解策略，对于进行大规模有限元计算具有重要意义，特别是在资源有限或者需要进行自适应网格细化的场景下。