图的数组表示法:邻接矩阵-数据结构基础
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更新于2024-08-21
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"数组表示法(邻接矩阵)-数据结构(清华大学版)——图"
图是一种数据结构,由顶点集V和边或弧的关系集合VR组成,通常表示为Graph=(V,{VR})。在图中,任意两个顶点之间可能存在关系,这使得图成为线性表和树之外更复杂的数据结构。在各种科学和工程领域,如人工智能、计算机科学等,图都有着广泛的应用。
本章主要探讨图的存储结构和操作实现,包括图的定义、存储表示、遍历、最小生成树和最短路径。图的存储方式之一是数组表示法,即邻接矩阵。邻接矩阵是一个二维数组,用于表示图中每个顶点之间的关系。如果图是有向的,邻接矩阵是对称的;如果是无向的,则矩阵是对称的。
在邻接矩阵中,行和列代表图中的顶点,矩阵中的每个元素表示对应顶点之间是否存在边或弧,以及它们的权重(如果有的话)。例如,如果矩阵中的元素a[i][j]为非零值,表示从顶点i到顶点j有一条边;如果为零,表示没有直接连接。对于无权图,通常用1表示存在边,0表示不存在;对于有权图,边的权重会存储在这个位置。
在C语言中,邻接矩阵可以定义为一个整型二维数组,如`int graph[MAX_VERTEX_NUM][MAX_VERTEX_NUM]`,其中`MAX_VERTEX_NUM`是预定义的最大顶点数量。为了表示无穷大(如在寻找最短路径时),可以定义一个常量`INFINITY`,通常设置为`INT_MAX`。
图的基本操作包括创建、销毁、查找顶点位置、获取和设置顶点值、遍历邻接顶点、添加和删除顶点,以及添加和删除边。例如,`CreateGraph()`函数根据给定的顶点集V和边集VR构造一个图,`DestroyGraph()`函数则销毁一个已存在的图。`LocateVex()`用于找到图中特定特征的顶点,`GetVex()`和`PutVex()`分别用于获取和修改顶点的值。`FirstAdjVex()`和`NextAdjVex()`帮助遍历与给定顶点相邻的顶点,而`InsertVex()`和`DeleteVex()`分别用于增加和移除顶点。插入或删除边的操作通常涉及更新邻接矩阵的相应元素。
图的遍历方法主要包括深度优先搜索(DFS)和广度优先搜索(BFS),这些方法在寻找最小生成树或计算最短路径时非常关键。最小生成树算法如Prim's算法或Kruskal's算法用于找到图中连接所有顶点的边集合,使得这些边的总权重最小。最短路径问题可以通过Dijkstra算法或Floyd-Warshall算法来解决。
图的数组表示法(邻接矩阵)是图论和数据结构中的基础概念,它提供了高效地存储和操作图的方法,对于理解和实现各种图算法至关重要。
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