改进Legendre有理谱法求解半空间Burgers方程的收敛性分析

"这篇论文是2007年发表在《河南科技大学学报：自然科学版》上的科研成果，由李名书、吕淑娟和李保安合作完成，研究主题聚焦于半无限空间上的Burgers方程，采用改进的Legendre有理谱方法来构建一种具有守恒特性的数值逼近格式，并通过误差估计证明了该格式的收敛性。" 正文: Burgers方程是一种非线性偏微分方程，常用于模拟流体动力学中的粘性流动和波的传播现象，具有重要的理论和应用价值。在无界区域上解决Burgers方程时，传统的谱方法面临挑战，因为它们可能无法保持数值解的守恒性质。这篇论文主要关注的是如何在半无限空间上解决这个问题。 作者提出了一种改进的Legendre有理谱方法，这种方法是对标准有理谱方法的一种扩展。标准的有理谱方法是基于有理函数的数值逼近，通过有理变换将有界区域上的正交多项式扩展到无界区域，以处理无界域上的问题。然而，这种方法的一个缺点是权函数可能不一致，这可能导致数值解失去守恒特性，增加理论分析和计算的复杂性。 为了克服这一问题，研究者们设计了一种新的基函数，使得改进后的有理谱方法中的权函数为常数1。这样做的好处是，数值解能够保持其固有的守恒性质，同时也简化了理论分析的过程。论文通过误差估计证明了所提出的逼近格式的收敛性，这是验证数值方法有效性和稳定性的关键步骤。 此外，论文还对比了其他几种谱方法，如Hermite谱方法、Laguerre谱方法以及Jacobi方法，指出它们在处理无界域问题时各自的优缺点。Hermite和Laguerre谱方法需要对初始问题进行变换，而Jacobi方法在解决外部问题时需要自变量变换。相比之下，改进的有理谱方法避免了这些复杂性，同时保持了良好的数值性能。 这篇论文对半无限空间上Burgers方程的数值解法做出了重要贡献，提供了具有守恒性质的数值逼近格式，并对其收敛性进行了理论证明。这一工作不仅深化了我们对Burgers方程数值解法的理解，也为未来在物理、工程等领域中应用该方法提供了坚实的理论基础。