四元数自共轭矩阵的Rayleigh-Ritz定理及其特征值表达式证明

本文档探讨了"四元数矩阵的Rayleigh-Ritz定理的证明"，发表于2006年1月的《内蒙古大学学报(自然科学版)》第37卷第1期。论文的作者是李莹和赵建立，他们利用四元数矩阵的复表示以及Hermitian阵在复数域上的特性，对四元数自共轭矩阵的Rayleigh-Ritz定理进行了简洁的证明。Rayleigh-Ritz定理在数学和工程领域，特别是在量子力学、刚体力学和控制论中具有重要意义，它涉及到矩阵的特征值问题。 Rayleigh-Ritz定理是矩阵分析中的一个重要结果，它给出了矩阵特征值的近似估计。在四元数自共轭矩阵的情况下，这个定理尤为重要，因为这种特殊的矩阵在四元数数学中有广泛应用。作者通过将四元数矩阵转化为2×2复数矩阵的复表示阵，利用矩阵运算的性质，如加法、数乘、乘积和共轭转置的性质，来证明了该定理。这些性质确保了在处理四元数矩阵时，可以有效地利用复数域上的计算简化复杂性。 在文中，首先介绍了预备知识，包括实数域R、复数域C、四元数体Q以及矩阵的复表示和共轭转置的概念。接着，引用了两个关键定理，定理1.1说明了关于四元数矩阵复表示的基本运算规则，而定理1.2揭示了四元数矩阵复表示的特征值特性，即实特征值成对出现，复特征值共轭成对。 定义1.1中，作者引入了友向量的概念，这是一种针对四元数向量的特定构造，对于理解和处理四元数矩阵的问题提供了有力工具。通过友向量，论文进一步探讨了如何利用这些概念来得到一般四元数自共轭矩阵特征值的一系列表达式，这对于深入理解四元数矩阵的性质及其在实际问题中的应用具有重要意义。 这篇论文提供了一个简明的证明方法，展示了如何通过四元数矩阵的复表示和友向量来解决Rayleigh-Ritz定理的问题，并给出了特定情况下特征值的表达形式。这对于那些在量子力学等领域使用四元数矩阵的学者来说，是一篇实用且理论基础扎实的研究成果。