函数与微分公式详解

该资源主要讲述了微积分中的求导与微分公式，以及函数的基本概念和表示方法，特别关注了在机器学习和高等数学背景下的基础知识。 在高等数学中，求导与微分是核心概念，用于研究函数的变化率和局部性质。表3.1列出了基本初等函数的求导和微分公式，这些公式是微积分的基础： 1. 求导公式： - 常数函数的导数为0：若f(x) = c（c为常数），则f'(x) = 0。 - 幂函数的导数：若f(x) = x^μ（μ为实数），则f'(x) = μx^(μ-1)。 - 自然对数函数的导数：若f(x) = ln|x|，则f'(x) = 1/x。 - 指数函数的导数：若f(x) = e^x，则f'(x) = e^x。 2. 微分公式： - 对应求导公式的微分形式，如c的微分为0，x^μ的微分为μx^(μ-1)，ln|x|的微分为1/x，e^x的微分为e^x。 函数的定义是数学中的关键概念，它描述了两个变量之间的一种确定关系。在定义1中，函数f是自变量x和因变量y之间的关系，其中x的每一个值都对应y的一个唯一值，定义域D是x可以取的所有值的集合，值域W是所有可能的y值的集合。 定义2进一步扩展了函数的概念，强调了函数是一种非空实数集D到B的映射，其中每个D中的x都有唯一的y与之对应。 函数的两个要素是定义域和对应规则。只要两个函数的定义域相同，且对应规则一致，那么这两个函数就被认为是相同的，即使它们的自变量和因变量的符号不同。 函数有多种表示方式： - 图像法：通过绘制函数图形来直观展示函数，便于理解函数的形状和变化趋势，但不适合精确计算。 - 表格法：通过列出部分自变量和对应的函数值形成表格，便于快速查看函数在特定点的值，但覆盖范围有限。 - 解析法：用数学表达式直接表示函数，适用于理论分析和计算。 在机器学习领域，这些基础知识至关重要，因为求导和微分是优化算法（如梯度下降）的基础，而函数的理解则关乎模型的构建和分析。