线性回归与机器学习：房价预测的数学模型

"严炜琦第三周周报1主要探讨了线性回归这一机器学习的基础概念，通过生活中的房价估测例子进行了解释，并提到了训练数据、特征选择以及线性回归模型的构建和优化方法。" 在机器学习领域，线性回归是一种广泛使用的简单模型，用于预测连续数值型的目标变量。在这个例子中，我们以评估房屋价格为例来理解线性回归。线性回归的核心思想是找到一个最佳拟合直线（在多维特征时为超平面），这条直线能够尽可能接近所有训练样本点，从而对未知数据进行准确预测。 a) "训练数据"是线性回归模型构建的基础，它提供了关于输入特征（如房屋的位置、大小、装修情况等）与输出目标变量（如房价）之间的关联信息。数据的质量和数量对于模型的准确性至关重要。 b) "特征"是影响目标变量的关键因素，它们是输入到模型中的变量。在房价的例子中，特征可能包括房屋的面积、所在区域、楼层、朝向等。选择正确的特征对于模型的性能有着直接影响。 c) "线性回归模型"通常表示为一个线性函数，形式为：\( h(x) = wx + b \)，其中\( w \)是权重，\( x \)是特征向量，\( b \)是截距。模型的目标是找到一组权重和截距，使得预测值\( h(x) \)与实际的房价\( y \)之间的差异最小，这通常通过最小化损失函数（如均方误差）来实现。 1. 线性回归函数\( h(x) \)用于预测目标变量\( y \)。在单特征情况下，它在二维平面上表现为一条直线，而在多特征时，它将形成一个多维空间中的超平面。 2. "成本函数"或"损失函数"是衡量模型预测结果与真实值之间差距的指标，通常采用均方误差（MSE）：\( J(w, b) = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n}(h(x_i) - y_i)^2 \)，这里的\( n \)是样本数量，\( (x_i, y_i) \)是每个训练样本的特征和对应的目标值。 3. 求解线性回归模型的参数通常采用梯度下降法，这是一种优化算法，通过迭代更新权重和截距，逐步减小损失函数，直至达到最小值。梯度下降分为批量梯度下降（batch gradient descent）、随机梯度下降（stochastic gradient descent）和小批量梯度下降（mini-batch gradient descent）等几种形式，适用于不同的数据规模和计算效率需求。 线性回归是通过训练数据学习特征与目标变量之间的线性关系，通过最小化损失函数来调整模型参数，从而实现对未知数据的预测。在实际应用中，特征选择、模型优化以及选择合适的梯度下降策略都是提升模型性能的关键步骤。