动态规划解最长公共子序列

"算公共子序列" 在计算机科学中，"算公共子序列"是一个经典的问题，主要涉及字符串处理和动态规划。最长公共子序列（Longest Common Subsequence，LCS）是指两个或多个序列中存在的一段序列，它是每个序列的子序列，且在所有这样的子序列中长度最长。这个问题常用于比较和分析序列之间的相似性，例如在生物信息学中比对DNA或蛋白质序列。 动态规划是解决最长公共子序列问题的主要方法。其基本思想是通过构建一个二维数组来存储序列对的子问题答案，避免重复计算。对于两个序列X和Y，我们可以创建一个大小为(m+1)×(n+1)的表，其中m和n分别是X和Y的长度。表的每个单元格[i][j]存储的是序列X的前i个字符和Y的前j个字符的最长公共子序列的长度。 算法设计的关键在于理解最优子结构和子问题的重叠性质。如果X[i]和Y[j]相等，那么LCS会包含这个共同的字符，所以LCS(X[0:i], Y[0:j]) = LCS(X[0:i-1], Y[0:j-1]) + 1。反之，如果它们不相等，LCS将取两者中较长子序列的长度，即max(LCS(X[0:i-1], Y[0:j]), LCS(X[0:i], Y[0:j-1]))。 例如，假设我们有两个字符序列X="ABCBDAB"和Y="BDCAB"，可以构建如下表格： ``` | | B | D | C | A | B | ---|---|---|---|---|---|---| | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | B | 0 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | D | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | C | 1 | 1 | 2 | 2 | 2 | 2 | A | 1 | 1 | 2 | 2 | 3 | 3 | B | 1 | 2 | 2 | 3 | 3 | 4 | ``` 最后的表格中[6][5]单元格的值4表示X和Y的最长公共子序列长度为4，实际的子序列是"BDCB"。 通过这个过程，我们不仅可以找到最长公共子序列的长度，还可以通过回溯表格中的路径找到具体的子序列。动态规划的效率比穷举搜索法高得多，因为它避免了对所有可能子序列的检查，只解决了必要的子问题。 在实际应用中，最长公共子序列问题不仅限于字符序列，还可以扩展到更复杂的对象序列，如DNA序列、蛋白质序列或文本文档。它在序列比对、数据压缩、模式识别等多个领域都有广泛的应用。