无记忆系统理论：线性与非线性转换

线性系统理论是控制理论的基础，它研究的是输入信号与输出信号之间的关系，这种关系满足加法性和尺度不变性等基本性质。在这份课件《Linear_System_Theory_and_Design》中，作者讨论了无记忆系统（memoryless system）的概念，这是线性系统的一个重要特征，即系统的输出仅取决于当前的输入，而不依赖于过去的输入历史。 在第2.1部分，作者首先考察了图2.19(a)所示的系统，其输入u和输出y之间的关系表达式为 u * a = y，其中a为常数。由于这个关系可以通过简单的乘法得到，且系统对任何输入的响应仅依赖于输入本身，因此它是线性的。加法性测试表明，如果对于任意两个输入u1和u2，输出y1和y2满足y1 + y2 = u1 * a + u2 * a，则该系统具有线性关系。 然而，图2.19(b)中的系统关系式为 b * u + a * y = y，这里a和b都是常数。当试图检验它是否具有线性性质时，将两个不同的输入组合（u1和u2）应用到该关系式上，发现y总和不满足 y1 + y2 = b * (u1 + u2) + a * (y1 + y2)，这表明系统不具备加法性，因此是非线性的。 尽管如此，作者指出可以通过引入新的输出z来使系统线性化。在图2.19(b)的例子中，定义 z = b * y - u * a，这样输出z就变成了u和a的线性函数，即 z = u * a，满足线性系统的基本条件。这意味着通过这样的变换，我们可以将非线性系统转换为线性系统，这是线性系统理论中的一个重要技巧。 最后，图2.19(c)中的系统描述为 y = a(u)，其中a(u)是输入u的函数，这表明输出对输入的依赖是非线性的，因为它不是简单的乘法关系。在这种情况下，系统不能被视为线性系统，因为线性关系要求输出是输入的线性函数，而非函数关系。 总结来说，这份课件深入讲解了线性系统的基本概念，通过实例展示了如何识别和处理非线性系统，以及如何通过改变输出变量或引入新的输出使系统具备线性特性。这对于理解和设计实际工程中的控制系统具有重要意义。