区间DP解决3SUM问题：区间长度与cnt数组优化

本题讨论的是一个与区间动态规划相关的算法问题，题目背景是2020年7月7日的某道题目，可能是人工智能竞赛或编程挑战的一部分。该题目涉及到了经典的三元组问题，即寻找满足特定条件的整数三元组(a, b, c)，使得a、b、c之间的关系式成立，如题目所述，即a + b + c = 0。 解法的核心在于使用区间动态规划（Dynamic Programming, DP），定义dp[i][j]表示区间[i, j]内存在满足条件的三元组的数量。区间长度从左至右逐渐增大，通过递推公式dp[i][j] = dp[i][j-1] + dp[i+1][j] - dp[i+1][j-1] + cnt[-a[i]-a[j]]来更新状态。这里，cnt数组记录了当前区间[i+1, j-1]内各数字出现的次数，用于避免重复计数中间区间的三元组。 为了处理数据范围在-10^6到10^6的限制，将所有输入数值加上一个较大的常数ave（例如10^6）使它们变为非负数，然后使用cnt数组的下标范围为0到2000000来表示。在转移过程中，通过计算得到第三个数ak的值，同时要注意检查它是否越界以防止运行错误（RE）。 在区间遍历过程中，左边界(l)从1开始，右边界(r)从len（三元组长度）开始，通过每次右移窗口（即增加一个元素）来调整计数。在处理完所有状态转移后，由于dp数组的范围会变大，需要在结束时清理掉部分cnt数组。考虑到最后一次左边界为n-len+1，右边界为n，因此只清理范围[n-len+3, n]的部分，以保持计数的有效性。 最后，对于每个查询(l, r)，直接查询dp[l][r]即可得到答案，这表明整个过程是一个高效的计算策略，利用区间动态规划和辅助数组cnt有效地解决了三元组问题。 总结来说，这段内容深入解析了一种区间DP算法的应用，结合了数值处理技巧（数据范围转换）和动态规划状态转移规则，旨在快速准确地找到满足特定条件的整数三元组。这种解法在实际编程竞赛或算法题中是非常实用的。