随机有限元法详解：线性理论与应用实例

线性随机有限元法是一种结合了传统有限元方法与随机分析技术的数值分析方法，主要用于处理结构工程中包含随机因素的问题。这种方法起源于早期的随机有限元，它在有限元的基础上扩展了对随机参数和载荷的处理能力。核心思想是将结构的不确定性量化为随机变量，并通过泰勒级数展开进行近似。 在有限元法的基本平衡方程（13-13）中，结构的刚度矩阵K、节点力向量F和位移向量u都是随机变量。当考虑随机因素时，这些量会随着随机偏量αk而变化，形成摄动项。摄动法在此背景下被应用，通过对零均值的随机偏量αk的一阶和二阶摄动，将整体方程转化为可以处理的数学形式（13-14）。 在实际应用中，随机变量αk可能来源于随机荷载（如地震荷载）、材料属性（如弹性模量的随机分布）或随机场。这些随机变量可以通过离散化处理，例如在单元中心点取随机值或采用局部平均，生成一组相关的随机变量，它们之间的相关性由原随机场的特性决定。 本书《线性与非线性有限元及应用》深入讲解了线性有限元法的原理、单元和形函数、单元性质与刚度矩阵、整体模型构建以及动力学分析等内容。从矩形单元到空间轴对称问题，再到等参数单元、杆系与板壳有限元、结构振动、非线性问题、材料和几何非线性，以及接触与摩擦非线性等，覆盖了广泛的应用场景。书中通过实例和习题帮助读者理解和掌握这些复杂的理论，适合高级工程力学的学习者和从业者。理解并熟练运用线性随机有限元法对于在工程领域进行可靠性和可靠性分析至关重要。