C语言实现辛普森公式与组合梯形法求积分

辛普森算法是一种数值积分方法，用于计算函数在某一区间上的定积分，通过在区间上分割并应用不同精度的多项式近似来提高精度。本文档提供了一个C++程序实现的组合辛普森公式，该公式是辛普森法则的一个变种，主要用于减少误差，尤其是当精确度要求较高时。 组合梯形公式是辛普森算法的基础，它采用梯形法则的思想，将区间划分为等间距的子区间，并对每个子区间应用线性插值。其公式表达为： \[ \int_{a}^{b} f(x) dx \approx \frac{h}{2} \left[f(x_0) + 2f(x_1) + 2f(x_2) + ... + f(x_m)\right] \] 其中，\( h = \frac{b - a}{m} \)，\( x_i = a + i \cdot h \)，并且\( m \)是子区间的数量。组合梯形公式会在满足条件 \( \frac{|y_{n+1} - y_n|}{3} \leq \epsilon \)（例如 \( \epsilon = 10^{-6} \)）时停止迭代。 组合辛普森公式则在此基础上进行了改进，通过使用更多的样本点（通常是奇数数量）来进一步减小误差。其公式形式为： \[ \int_{a}^{b} f(x) dx \approx \frac{h}{3} \left[f(x_0) + 4f(x_1) + 2f(x_2) + 4f(x_3) + ... + f(x_{2m})\right] \] 当满足 \( \frac{|y_{n+1} - y_n|}{15} \leq \epsilon \) 时，算法认为结果收敛并停止计算。 文档中的C++代码部分展示了如何实现这些算法。首先定义了一个辅助函数`jdz()`用于处理绝对值，以及三个函数`f()`分别代表需要积分的三个具体函数。然后，`TX0()`函数实现了基于固定步长的组合梯形公式，而`TX()`函数则递归地应用组合梯形公式，直到达到精度要求。最后，`XPS0()`函数实现了特定步长下的组合辛普森公式，其结构与组合梯形公式类似，但使用了双倍的子区间数量。 通过这个C++程序，用户可以输入区间边界、步长以及所需精度，计算指定函数在该区间内的积分。这是一种有效的数值积分工具，尤其适用于计算复杂函数的积分，同时保证了计算的精度和效率。