最短路最小插点问题动态规划算法研究

"20151910042-刘鹏-AG实验04-路的插点数问题1" 这篇实验报告探讨的是一个关于最短路的最小插点问题，这个问题来源于实际的通信网络优化场景。在这个问题中，我们有一个无向图𝐺𝐺，其中每条边都有一个权重𝑤𝑤，表示通信的延迟时间。同时，存在一组通信请求限制条件𝒫𝒫，每个条件包括一对起始点𝑠𝑠𝑖𝑖和结束点𝑡𝑡𝑖𝑖，以及一个最大延迟阈值𝐵𝐵𝑖𝑖。任务是找到一个子图𝐺𝐺′，在该子图中，每条从𝑠𝑠𝑖𝑖到𝑡𝑡𝑖𝑖的路径的延迟不超过𝐵𝐵𝑖𝑖，并且为了满足这个要求，可以在任意边𝑒𝑒上插入新的节点，但每条边上的节点数不超过 IntelliJ(𝑒𝑒)/𝑑𝑑，并且总插入节点数最少。 为了解决这个问题，动态规划算法可以被应用。动态规划是一种通过构建子问题并存储其解来避免重复计算的方法。在这个问题中，可以定义一个状态dp[i][j]表示从起点𝑠𝑠到第𝑗𝑗个顶点的最短路径，并且在路径上插入了i个节点。通过递推关系更新这些状态，最终找出满足所有限制条件且插入节点数最少的子图。 实验内容包括了算法的设计和C语言的实现。C语言是一种广泛用于系统编程和嵌入式编程的高级编程语言，它的效率高，适合处理这种计算密集型的问题。 算法设计部分，首先问题被定义为“路的插点问题”，除了原有的边权重𝑤𝑤外，还引入了一个插点成本函数𝑐𝑐，表示插入一个节点的成本。目标是在保证路径重量不超过𝐵𝐵的前提下，从𝑠𝑠到𝑡𝑡找到一条路径𝑃𝑃𝑠𝑠, 𝑡𝑡，使得路径的总重量𝑤𝑤𝑃𝑃𝑠𝑠, 𝑡𝑡加上总插入成本𝑐𝑐𝑃𝑃𝑠𝑠, 𝑡𝑡最小。 为了实现这个问题的动态规划解决方案，可能需要采用以下步骤： 1. 初始化状态dp[0][sj]，表示没有插入节点且到达顶点sj的最短路径。 2. 对于每个状态dp[i][j]，遍历所有相邻的顶点k，如果插入一个节点后路径延迟和成本满足条件，更新dp[i+1][k]。 3. 使用回溯或记忆化搜索来找到满足条件的路径和对应的插入节点数。 实验报告中可能还包括了实验平台的描述，如Windows 10和MacOS，以及实验日期和指导教师的信息。 这个实验旨在训练学生理解并解决实际通信网络中的优化问题，通过动态规划来找到最优解，并将其转化为可执行的代码。这涉及到图论、最短路径算法以及动态规划等核心计算机科学概念。