代数多项式保形逼近可微函数的进展：单调性约束与精度估计

本文主要探讨了代数多项式在逼近可微函数时的一般保形性质，特别是在有限区间上的应用。论文以2001年南京师范大学自然科学版《南京师大学报》第24卷第3期为背景，作者孙福树和赵洪牛针对逐段单调的可微函数j(x)在闭区间[-1,1]内的逼近问题进行了深入研究。 首先，论文回顾了之前的研究成果，G.L.Iliev和D.J.Newman的工作利用共单调的n阶代数多项式逼近逐段单调函数，并给出了逼近度的Jackson型估计式。这种逼近方法强调了保持函数的单调性一致性，即逼近多项式的单调性与原函数相同。 然后，R.K.Beatson和D.Leviatan扩展了这一理论，他们证明了对于可微函数，如果在区间[-1,1]内仅改变r次单调性，那么通过n阶代数多项式逼近的误差可以控制在一个与r有关的界限之内，即En(j)≤Cn-rω(f，t)。这表明随着多项式的阶数增加，逼近精度随着单调性变化次数的减少而提高。 进一步地，余祥明在文中提出了一个更一般的情况，即对于可微函数j(x)在区间上具有特定的零点分布，他证明了当n足够大时，存在一个与零点分布相关的常数C，使得保形逼近误差可以达到共凸逼近的程度，即Ën(j)≤Cn-k(f，KLt)。这个定理展示了即使在更复杂函数情况下，代数多项式依然能够提供有效的逼近。 该研究不仅提供了关于可微函数保形逼近的新理解，还为实际应用中的数值分析和信号处理等领域提供了理论支持，尤其是在处理那些具有特定单调性特征的函数时。作者孙福树作为讲师，他的工作反映了函数论领域的最新进展，并且该成果有助于推动数学分析方法在信息技术中的应用和发展。