数学建模与实验:最小二乘法在供水时段流量拟合中的应用
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更新于2024-08-20
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该资源主要涉及的是用水量的流量拟合问题,利用最小二乘法进行3次多项式拟合,以确保流量函数在特定时间点连续。在供水时段的第1时段(t=9~11)前后的流量已知,通过选取四个关键点进行拟合。MATLAB代码示例展示了如何运用`polyfit`函数进行拟合,并计算出不同时间点的流量。
详细知识点:
1. **最小二乘法**:最小二乘法是一种常用的数值分析方法,用于寻找一组数据的最佳近似线性关系。在这个案例中,它的目标是找到一条曲线,使得所有数据点到这条曲线的距离平方和最小,从而实现对实际流量数据的拟合。
2. **多项式拟合**:在本例中,选择了3次多项式进行拟合,这意味着拟合的函数形式为 `f(t) = at^3 + bt^2 + ct + d`,其中a, b, c, 和 d是通过最小二乘法计算得到的系数。选择3次多项式是因为它能确保函数在给定的四个点上都通过,即满足连续性要求。
3. **MATLAB的`polyfit`函数**:`polyfit`是MATLAB中用于多项式拟合的函数,它接受三个参数,分别是x坐标数组、y坐标数组和拟合的多项式阶数。在例子中,`polyfit([8 9 11 12], xx12, 3)` 将[8, 9, 11, 12]时刻的流量数据xx12拟合成3次多项式,并返回拟合系数。
4. **`polyval`函数**:`polyval`函数用于根据给定的多项式系数和自变量值计算对应的函数值。在代码中,`polyval(c12, tp12)` 用于计算在tp12时间范围内,由c12系数表示的3次多项式的流量值。
5. **拟合的目的**:拟合的目的是找到一个能够描述数据趋势的数学模型,即使得模型尽可能地接近实际观测到的数据点。在供水流量的例子中,这有助于预测在未测量的时间点上的流量,或者理解流量随时间变化的规律。
6. **拟合与插值的区别**:拟合允许模型不通过所有数据点,而是追求整体趋势的匹配,而插值则要求模型必须穿过所有给定点。在实际应用中,拟合更常用于数据分析和预测,而插值则用于构建连续函数或在数据间插入新的点。
7. **实验作业和应用实例**:通过数学建模和数学实验,学生可以深入理解拟合的基本原理和方法,比如通过热敏电阻数据预测特定温度下的电阻值,或者通过血药浓度数据探索其随时间的变化规律。这些实例有助于提高学生解决实际问题的能力。
总结来说,本资源讨论了如何使用最小二乘法和3次多项式拟合来处理供水时段的流量数据,提供了一个具体的MATLAB实现示例,以及拟合在实际问题中的应用。这种方法对于理解和预测流量变化,以及其他类似的时间序列分析问题具有重要意义。
2010-07-12 上传
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郑云山
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