数学建模与实验：最小二乘法在供水时段流量拟合中的应用

该资源主要涉及的是用水量的流量拟合问题，利用最小二乘法进行3次多项式拟合，以确保流量函数在特定时间点连续。在供水时段的第1时段（t=9~11）前后的流量已知，通过选取四个关键点进行拟合。MATLAB代码示例展示了如何运用`polyfit`函数进行拟合，并计算出不同时间点的流量。 详细知识点: 1. **最小二乘法**：最小二乘法是一种常用的数值分析方法，用于寻找一组数据的最佳近似线性关系。在这个案例中，它的目标是找到一条曲线，使得所有数据点到这条曲线的距离平方和最小，从而实现对实际流量数据的拟合。 2. **多项式拟合**：在本例中，选择了3次多项式进行拟合，这意味着拟合的函数形式为 `f(t) = at^3 + bt^2 + ct + d`，其中a, b, c, 和 d是通过最小二乘法计算得到的系数。选择3次多项式是因为它能确保函数在给定的四个点上都通过，即满足连续性要求。 3. **MATLAB的`polyfit`函数**：`polyfit`是MATLAB中用于多项式拟合的函数，它接受三个参数，分别是x坐标数组、y坐标数组和拟合的多项式阶数。在例子中，`polyfit([8 9 11 12], xx12, 3)` 将[8, 9, 11, 12]时刻的流量数据xx12拟合成3次多项式，并返回拟合系数。 4. **`polyval`函数**：`polyval`函数用于根据给定的多项式系数和自变量值计算对应的函数值。在代码中，`polyval(c12, tp12)` 用于计算在tp12时间范围内，由c12系数表示的3次多项式的流量值。 5. **拟合的目的**：拟合的目的是找到一个能够描述数据趋势的数学模型，即使得模型尽可能地接近实际观测到的数据点。在供水流量的例子中，这有助于预测在未测量的时间点上的流量，或者理解流量随时间变化的规律。 6. **拟合与插值的区别**：拟合允许模型不通过所有数据点，而是追求整体趋势的匹配，而插值则要求模型必须穿过所有给定点。在实际应用中，拟合更常用于数据分析和预测，而插值则用于构建连续函数或在数据间插入新的点。 7. **实验作业和应用实例**：通过数学建模和数学实验，学生可以深入理解拟合的基本原理和方法，比如通过热敏电阻数据预测特定温度下的电阻值，或者通过血药浓度数据探索其随时间的变化规律。这些实例有助于提高学生解决实际问题的能力。 总结来说，本资源讨论了如何使用最小二乘法和3次多项式拟合来处理供水时段的流量数据，提供了一个具体的MATLAB实现示例，以及拟合在实际问题中的应用。这种方法对于理解和预测流量变化，以及其他类似的时间序列分析问题具有重要意义。