Matlab实现Jacobi与Gauss-Seidel迭代法解线性方程组

"该文档是关于使用Matlab实现线性方程组的Jacobi迭代法和Gauss-Seidel迭代法的实验报告。" 在数值线性代数中，Jacobi迭代法和Gauss-Seidel迭代法是求解大型稀疏线性方程组的常用方法，特别是对于那些不适合直接求解的大型系统。这两种迭代法主要用于求解形如 Ax = b 的线性方程组，其中A是一个n×n的矩阵，x和b分别是n维向量。 **Jacobi迭代法**的基本思想是将系数矩阵A分解为对角矩阵D，上三角矩阵U和下三角矩阵L，即A = D - L - U。然后，通过以下公式进行迭代： x^(k+1) = D^(-1) * (b - L*x^k - U*x^(k)) 其中，x^(k+1)是第k+1步的解，x^k是第k步的解，D^(-1)是对角矩阵D的逆，L和U矩阵中的元素不包括对应于当前元素的那一行和列。Jacobi迭代法的收敛性依赖于系数矩阵A的条件数，如果条件数较小，则更容易收敛。 在提供的Matlab程序中，`Jacobi.m`函数实现了这一算法，它接受系数矩阵A、右端项b、精度要求ep和最大迭代次数it_max作为参数。程序会计算解x，迭代次数k以及判断是否达到收敛的标志index。 **Gauss-Seidel迭代法**是Jacobi迭代法的改进版本，它在每次迭代时更新所有元素，而不是等待整个迭代步骤完成。迭代公式变为： x_i^(k+1) = (b_i - Σ_j=L_i(A_ij * x_j^(k+1))) / A_ii 这里的索引i表示当前处理的元素，j=L_i表示从当前元素下方的元素开始迭代。由于Gauss-Seidel法在每一步都使用了最新解的信息，因此通常比Jacobi法更快地收敛。 在提供的代码中，`gaussSeidel.m`函数实现了Gauss-Seidel迭代法，除了接受系数矩阵A、右端项b和初始迭代点x0外，还接受误差边界errorBound和最大迭代次数maxSp。该函数返回近似解v，迭代次数sN以及迭代过程中的所有值集合vChain。 两种迭代法的收敛性都受到系数矩阵A的影响。如果A是对称正定的，那么Gauss-Seidel法总是收敛的，而Jacobi法则在某些条件下收敛。然而，实际应用中，它们可能不会收敛或者收敛速度很慢，需要根据具体问题调整参数或选择其他解法。