标量随机延迟微分方程Euler-Maruyama方法的均方稳定性定量分析

本文主要探讨了标量随机延迟微分方程的Euler-Maruyama方法在带有乘性噪声情况下的均方稳定性。该研究聚焦于解析解均方稳定的前提下，通过数值分析来确定Euler-Maruyama方法的数值解在一定步长限制下的稳定性。Euler-Maruyama方法是一种常用的数值求解随机微分方程的数值解法，它将随机过程的连续时间问题转化为离散时间问题，便于计算机实现。 随机延迟微分方程（SDDEs）作为一种复杂的数学模型，结合了随机性和时滞效应，能更精确地模拟现实世界中的动态系统，特别是在金融数学、生物数学和基因工程等领域有着广泛应用。方程（1）的具体形式为dx(t) = [a1x(t) + a2x(t-τ)]dt + [a3x(t) + a4x(t-τ)]dW(t)，其中τ>0是时间延迟，a1, a2, a3, a4是实常数，W(t)是布朗运动或维纳过程，而ξ(t)则是初始函数。 尽管随机延迟微分方程的解析解往往难以求得，因此数值解的研究变得尤为重要。文章引用了Mao X.R.对随机延迟微分方程理论的深入探讨，并参考了文献[2-3]中关于随机延迟微分方程本身的最新进展和解析解的成果。数值解的稳定性分析通常涉及找到一个步长范围，在这个范围内，数值解的均方误差随着时间的增加不会无限制地增长，即数值解保持稳定的特性。 本文的主要贡献在于，通过严格的数学推导，证明了在特定的步长条件下，Euler-Maruyama方法对于方程（1）的数值解是均方稳定的。这不仅理论意义重大，也为实际应用中的随机延迟系统提供了可靠的数值模拟手段。为了验证理论结果，作者还进行了数值实验，结果显示理论分析与实际数值结果吻合，进一步证实了方法的有效性和稳定性分析的准确性。 这篇论文深入研究了标量随机延迟微分方程的数值解稳定性问题，对于理解和控制含有随机和延迟的复杂系统具有重要的科学价值和技术指导作用。