二分法求解数值方程与误差分析：实例详解

本资源是一份关于数值分析的简明教程第二版的课后习题答案，主要针对计算机科学（CS）领域的学生，特别是那些对数值计算方法感兴趣的读者。章节内容涉及二分法的应用，这是一种常用的数值求根算法。 在第1题中，学生被要求使用二分法求解方程x - x - 1 = 0在区间[1, 2]内的近似根，误差要求小于10^-3。通过二分法的误差估计公式|x* - x_k| ≤ (b-a) / 2^(k+1)，可以推算出至少需要进行9次迭代（k=9），以确保达到精度标准。具体求解过程中展示了每次迭代的区间划分和函数值符号的变化。 第2题涉及到证明方程f(x) = e^x + 10x - 2在[0, 1]区间内有唯一实根，并利用二分法求解该根，误差要求不超过10^-2。题目中利用了函数连续性和单调性来确定存在零点，再根据二分法误差公式计算出至少需要进行7次迭代（k=7）来达到目标精度。 第3题考查的是有效数字和相对误差的概念。通过比较e与近似值x_1=2.7，x_2=2.71，x_3=2.718的差距，判断它们的有效位数。例如，x_1的相对误差限为1.85%，因为|e-x_1| / e < 0.05，以此类推，计算其他数值的有效位数和相对误差。 这些题目不仅锻炼了学生对二分法的运用，还让他们理解了数值分析中的精度控制和近似计算的重要性，是理解和掌握数值分析基本技能的实用案例。通过解决这些问题，学生能够提升自己的问题解决能力，并在实际编程或工程计算中灵活应用这些理论。