公式法解一元二次方程：步骤与判别式解析

"《用公式法解一元二次方程》ppt课件1" 本文将深入探讨如何使用公式法解决一元二次方程，这是一项在初中数学中至关重要的技能。一元二次方程通常表示为标准形式：ax² + bx + c = 0，其中a、b和c是常数，且a≠0。解此类方程的一种有效方法是通过求根公式，也称韦达定理，公式如下： x = [-b ± √(b² - 4ac)] / (2a) 公式法解一元二次方程需要遵循以下步骤： 1. 确保方程为一般形式：ax² + bx + c = 0。 2. 移项，将常数项c移到方程右侧。 3. 计算判别式Δ = b² - 4ac，这决定了方程的根的性质： - 若Δ > 0，方程有两个不相等的实数根。 - 若Δ = 0，方程有两个相等的实数根（重根）。 - 若Δ < 0，方程无实数根，而是两个共轭虚根。 4. 将a、b、c的值代入求根公式计算x的值。 5. 写出原方程的解。 举例说明，解方程5x² - 4x - 12 = 0： 1. 化为一般形式：5x² - 4x - 12 = 0。 2. 确定系数：a=5，b=-4，c=-12。 3. 计算判别式Δ = (-4)² - 4*5*(-12) = 16 + 240 = 256。 4. 代入公式：x = [4 ± √256] / (2*5) = [4 ± 16] / 10。 5. 求解：x1 = 2，x2 = -6/5。 解一元二次方程时，了解根的判别式有助于预判解的情况。例如，对于方程x² - 6x + 1 = 0，Δ = (-6)² - 4*1*1 = 36 - 4 = 32 > 0，故方程有两个不相等的实数根。 在特殊情况下，如当方程的两根互为相反数时，意味着它们的和为0，即-b/a = 0，因此b = 0。对于方程ax² + bx + c = 0，b = 0时，方程变为ax² + c = 0，解得x = ±√(-c/a)，此时两根互为相反数的条件是c = 0且a ≠ 0。 题目中的变题涉及到当方程m²x² + (2m+1)x + 1 = 0的根性质变化时，m应满足的条件： - 如果方程有两个不相等的实数根，则Δ > 0，即(2m+1)² - 4m² > 0，解得m > -1/4。 - 如果方程有两个相等的实数根，则Δ = 0，即(2m+1)² - 4m² = 0，解得m = -1/4。 - 如果方程没有实数根，则Δ < 0，即(2m+1)² - 4m² < 0，解得m < -1/4。 总结来说，掌握公式法解一元二次方程是解决这类问题的基础，理解判别式的应用能帮助我们预测解的性质，从而有效地解决各种变式问题。