动态规划模型解析：背包问题与货币系统

"这篇文档详细介绍了四种常见的动态规划模型，并通过具体的实例进行了解析，包括背包模型、最短路径模型、最长公共子序列和状态压缩模型。动态规划是一种解决复杂优化问题的有效方法，通过对问题进行分阶段决策并优化，可以找到全局最优解。 一、背包模型 背包问题是动态规划的经典应用，主要分为01背包和完全背包两种类型。在01背包问题中，我们需要在背包容量限制下，选择物品以最大化总价值。状态表示通常为`f[j]`，表示背包容量为`j`时的最大价值。状态转移方程可以表示为：`f[j] = max{f[j-w[i]] + v[i]}`，其中`w[i]`是第`i`个物品的重量，`v[i]`是其价值。边界条件为`f[0] = 0`。通过双重循环更新状态数组，最后`f[m]`即为背包能容纳的最大价值。 二、最短路径模型 最短路径问题如Dijkstra算法和Floyd-Warshall算法，用于寻找图中两点间的最短路径。例如，在Dijkstra算法中，我们维护一个距离数组`d[]`，表示从起点到各个节点的最短距离，每次选取当前未访问节点中距离最小的一个，更新其相邻节点的距离。通过不断迭代，最终得到所有节点的最短路径。 三、最长公共子序列 最长公共子序列问题是在两个序列中找到一个最长的子序列，这个子序列在两个原始序列中都存在，但不一定要连续。状态表示为`lcs[i][j]`，表示两个序列的前`i`个字符和前`j`个字符的最长公共子序列的长度。状态转移方程为：`lcs[i][j] = lcs[i-1][j-1] + 1`，当两个字符相等时；否则，`lcs[i][j] = max(lcs[i-1][j], lcs[i][j-1])`。 四、状态压缩模型 状态压缩模型常用于处理具有大量状态但状态之间有某种组合关系的问题，如皇后问题、棋盘覆盖等。通过将状态编码为一个整数，可以减少空间需求，同时利用位运算进行状态转移。 例如，上述的货币系统问题实际上是一个01背包问题的变形，目标不是求最大价值，而是求解构造特定面值的不同方案数。通过类似背包的状态转移，我们可以求得答案。 动态规划的核心在于构造合适的状态表示和状态转移方程，理解模型的本质，并能灵活运用到各种实际问题中。学习动态规划不仅有助于解决竞赛编程问题，也有助于提升对复杂问题的分析和解决能力。"