逻辑回归推导：从线性回归到Sigmoid转换

"这篇文档详细介绍了逻辑回归的理论推导，包括从线性回归到逻辑回归的转换，以及损失函数的选择和应用，特别是交叉熵在分类问题中的作用。" 在机器学习领域，逻辑回归是一种广泛使用的分类算法，尤其适用于处理二分类问题。它通过将线性回归的结果输入到一个非线性的sigmoid函数中，将连续的预测值转化为介于0和1之间的概率值。这篇文档首先介绍了损失函数的概念，作为评估模型预测效果的指标。对于回归问题，通常采用均值平方差（MSE）来衡量预测值与真实值之间的差距；而在分类问题中，交叉熵损失函数更为常见，因为它能够更好地反映模型对类别预测的准确性。 交叉熵损失函数在二分类问题中的形式如下： \[ C = -\frac{1}{m}\sum_{i=1}^{m}[y_i\log(a_i) + (1 - y_i)\log(1 - a_i)] \] 其中，\( m \)是样本数量，\( y_i \)是第 \( i \) 个样本的真实类别（0或1），而 \( a_i \) 是模型预测该样本属于正类别的概率。当预测准确时，交叉熵的值趋向于0；反之，如果预测错误，其值会增大。 接下来，文档展示了如何从线性回归过渡到逻辑回归。线性回归模型可以表示为： \[ f(x) = \theta_0 + \theta_1x_1 + \theta_2x_2 + \cdots + \theta_nx_n \] 这里的 \( \theta \) 是模型参数，\( x \) 是特征变量。然而，线性回归的输出可能取任何实数值，不适合直接解释为概率。因此，引入sigmoid函数： \[ Z = \frac{1}{1 + e^{-x}} = \frac{1}{1 + e^{-f(x)}} \] sigmoid函数将 \( f(x) \) 的值映射到 (0,1) 区间，便于表示概率。当 \( f(x) \) 接近0时，\( Z \) 接近0.5，这意味着模型预测样本位于两类之间的边界。如果 \( f(x) > 0 \)，我们将其预测为正类，设置 \( y = 1 \)，概率 \( P(x_i) = h(x_i) \)；反之，如果 \( f(x) < 0 \)，我们预测为负类，设置 \( y = 0 \)，概率 \( P(x_i) = 1 - h(x_i) \)。 因此，逻辑回归模型定义了一个概率模型，其中 \( h(x) \) 是经过sigmoid转换后的线性回归输出。这个模型可以用来估计一个样本属于正类别的概率，并基于这个概率进行分类决策。 在训练逻辑回归模型时，通常使用梯度下降法或牛顿法等优化算法来最小化损失函数，从而找到最佳的参数 \( \theta \)。在实际应用中，逻辑回归可以扩展到多分类问题，例如通过一对多或多对一的方法，或者使用softmax函数。 总结来说，逻辑回归是通过线性回归的输出经过sigmoid函数转换，得到概率预测，进而实现分类。交叉熵损失函数在其中起到关键作用，它能有效评估模型在分类任务上的性能。